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Aritmét ica
Actividades
Page 48
Aplicamos lo aprendido
48 Intelectum 2.°
tema 1: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN Z+
1 Halla el menor número entero por el cual debemos multiplicar a
225 000 para que el producto sea un cuadrado perfecto.
A) 5 B) 6 C) 10
D) 15 E) 2
2 ¿Cuál es el menor número entero positivo por el cual debo
dividir a 600 para que el resultado sea un cuadrado perfecto?
A) 2 B) 3 C) 6
D) 12 E) 15
3 Halla a + k, si: a1 = k2
A) 17 B) 14 C) 15
D) 6 E) 9
4 ¿Cuántos números de 3 cifras son cuadrados perfectos?
A) 15 B) 22 C) 27
D) 32 E) 12
5 Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtuvo 6 de raíz y
5 de residuo. Calcula la suma de cifras del número.
A) 2 B) 5 C) 6
D) 8 E) 9
6 Determina la cantidad de números cuadrados perfectos que
terminan en 4 y están comprendidos entre los números cuadrados
perfectos 49a0 y 81b0.
A) 3 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
Resolución:
Sea N el menor número entero tal que:
225 000 . N = k2
152 . 102 . 10 . N = k2
1502 . 10 . N = k2
.
10
` N = 10
Resolución:
N k
600 2=
. .N k
2 5 33 2 2=
El exponente de 2 debe ser °2.
Nmín. = 2 . 3
& k2 = 22 . 52
` N = 6
Resolución:
a1 = k2
Solo cumple para: k = 9
& a1 = 92
a1 = 81
& a = 8
Piden:
a + k = 8 + 9 = 17
` a + k = 17
Resolución:
Del enunciado:
100 # abc # 999
mín. máx.
100 # x2 # 999
10 # x # 31,6 & x ! {10; 11; ...; 31}
x toma 22 valores
Luego, 22 números son cuadrados perfectos.
Resolución:
Del enunciado tenemos:
N
5
6
& N = 62 + 5 = 41
` ∑cifras de N = 4 + 1 = 5
Resolución:
49a0 1 mnp4 1 81b0 ... (1)
702 1 k2 1 902
70 1 k 1 90
k ! {71; 72; 73; ...; 89} ... (2)
De (1): mnp4 = k2 & k termina en 2 o 8.
Luego de (2): k ! {72; 78; 82; 88}
4 términos
` Hay 4 números cuadrados perfectos.
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Claves
49ARITMÉTICA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
1. C
2. C
3. A
4. B
5. B
6. B
7. B
8. A
9. B
10. E
11. A
12. D
13. C
14. D
7 ¿Cuántos numerales de la forma abab(7) son cuadrados
perfectos?
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7
8 Si ( ) ( ) ( )a b c c1 2 1 2 02 + - es un cuadrado perfecto, calcula
a + b + c.
A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13
9 Si 39ab es un cuadrado perfecto, calcula (a - b)2.
A) 4 B) 9 C) 16 D) 25 E) 49
10 ¿En cuántas bases de numeración menores que 50, el número
1331(n) es cubo perfecto?
A) 43 B) 4 C) 44 D) 41 E) 46
11 Sea R el resto de extraer la raíz cúbica de 1450. Calcula el
menor entero positivo que se le debe sumar a R para que
dicha suma sea un número que tenga raíz cúbica exacta.
A) 6 B) 16 C) 24 D) 73 E) 97
12 Determina el mayor número entero sabiendo que al extraerle
la raíz cuadrada se obtiene 5 de residuo y si se adiciona 142,
se convierte en un cuadrado perfecto. Da como respuesta la
suma de sus cifras.
A) 8 B) 18 C) 21 D) 15 E) 3
13 Si a un entero se le adiciona 1261, su raíz cúbica aumenta en
una unidad manteniendo el residuo inalterado. La raíz cúbica
del número es:
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
14 ¿Cuántos números menores que 10 000 al extraerles su raíz
cúbica dan como resto el máximo posible, siendo este múltiplo
de 7?
A) 5 B) 7 C) 2 D) 8 E) 6
Resolución:
abab(7) = k
2
ab(7)7
2 + ab(7) = k
2
50ab(7) = k
2
52 . 2 . ab(7) = k
2
2 . n2
ab(7) = 2n
2
10(7) # ab(7) # 66(7)
7 1 2n2 1 48
1,87... 1 n 1 4,89...
2; 3; 4
` Hay 3 numerales.
Resolución:
a b c c k1 2 1 2 02 2+ - =^ ^ ^h h h
2
1(2a)b500 = k2
n2
1(2a)b5 = n2
2
1(2a)25 = n2
1 35
` a + b + c = 1 + 2 + 2 = 5
Resolución:
39ab = k2
3900 # 39ab # 3999
3900 1 k2 1 3999
62,44... 1 k 1 63,23...
63
& 39ab = 632 = 3969
& a = 6 / b = 9
` (a - b)2 = (-3)2 = 9
Resolución:
1331(n) = n
3 + 3n2 + 3n + 1 ; (n 2 3)
1331(n) = (n + 1)
3, 6 n 2 3
cubo perfecto
Del enunciado: 3 1 n 1 50
n ! {4; 5; 6; 7; ...; 49}
46 términos
` Hay 46 bases.
Resolución:
14503 11
1331
119
Entonces: R = 119
Si le aumentamos: x
119 + x = k3 (cubo perfecto)
.
53 = 125
` x= 6
Resolución:
N2
5
k N 142+
0
p
N = k2 + 5 / N + 142 = p2
& k2 + 5 + 142 = p2
p2 - k2 = 147
(p + k)(p - k) = 147
Para que N sea máximo:
p + k = 147 / p - k = 1
&
p = 74 / k = 73
N = k2 + 5 = (73)2 + 5 = 5334
Suma de cifras de N:
5 + 3 + 3 + 4 = 15
Resolución:
N = k3 + r / N + 1261 = (k + 1)3 + r
& k3 + r + 1261 = (k + 1)3 + r
(k + 1)3 - k3 = 1261
& k = 20
` La raíz cúbica es 20.
Resolución:
N = q3 + 3q2 + 3q 1 10 000 ...(1)
N = 7º ...(2)
De (1): q3 + 3q2 + 3q + 1 1 10 001
(q + 1)3 1 10 001
q + 1 1 21,5
q 1 20,5
Luego, los valores de q que
satisfacen (2) son:
q ! {1; 3; 7; 8; 10; 14; 15; 17}
` Existen 8 números en total.
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Instrucciones: completa los tableros subdivididos en 9 cuadrados llenando las celdas vacías con los números del 1 al 9, sin que se repita ninguna cifra,
en cada fila, ni en cada columna, ni en cada cuadrado.
1.
9 7 8 3 1
4 7 1 6 2
2 3
1 7 8 2
7 1 9 5
8 2 6 3
5 6
2 5 6 9 3
1 7 9 2 8
2.
4 7 5
1 5 6 7
8 2 5
8 1 6 7 3
5 9 4 3 6
6 3 8 2 5
3 1 7
2 6 8 4
3 7 6
3.
6 8 1 7
1 3 5 9
9 1 2
1 3 4 7
7 6 2 4 9
2 3 6 8
2 8 4
8 3 6 7
4 1 5 6
4.
2 4 6
8 5 9 4
6 2
5 7 2 6 1
3 1 5 7 9
4 1 9 6 3
1 8 2
4 5 9
2 9 3
5.
5 8 3 2 6
6 1
4 8 3
7 2 6 1 8
9 6 7 5 2 4
1 4 9 7 5
1 7 8
1 8
4 7 2 1 9
6.
4 3
3 5 6
5 2 3 8 1 9
5 1 7
9 3 2 6 5
5 7 3
9 3 2 4 6 1
7 5 8
5 9
7.
7 9 3
5 7 6 4 2
4 3
4 3 2 5
7 4 9 6 8
2 5 1 4
5 9
6 8 4 9 5
3 2 4
8.
5 9 1 3 2
7 8 6 3
3 9 4
8 2 4 6
3
2 7 8 1
7 9 5
6 8 7 1
4 8 1 6 3
Page 96
1.
9 5 6 7 2 8 3 1 4
4 7 3 5 1 9 6 8 2
1 2 8 3 4 6 5 7 9
3 9 4 1 5 7 8 2 6
7 6 1 2 8 4 9 3 5
5 8 2 6 9 3 1 4 7
8 3 9 4 7 5 2 6 1
2 4 5 8 6 1 7 9 3
6 1 7 9 3 2 4 5 8
2.
4 9 6 1 2 8 7 3 5
1 5 3 6 9 7 8 4 2
8 7 2 4 3 5 9 6 1
9 8 1 5 6 2 4 7 3
7 2 5 9 4 3 6 1 8
6 3 4 7 8 1 2 5 9
2 6 8 3 5 4 1 9 7
5 1 9 2 7 6 3 8 4
3 4 7 8 1 9 5 2 6
3.
6 4 2 5 8 9 3 1 7
8 7 1 4 6 3 5 9 2
3 9 5 1 7 2 6 8 4
1 3 8 9 4 6 2 7 5
7 5 6 8 2 1 4 3 9
9 2 4 7 3 5 1 6 8
5 6 7 2 1 8 9 4 3
2 8 3 6 9 4 7 5 1
4 1 9 3 5 7 8 2 6
4.
3 1 2 7 8 4 9 6 5
8 7 6 5 9 1 2 3 4
9 5 4 3 6 2 8 7 1
5 9 7 2 3 6 4 1 8
6 3 1 4 5 8 7 9 2
2 4 8 1 7 9 6 5 3
1 6 9 8 2 3 5 4 7
7 8 3 6 4 5 1 2 9
4 2 5 9 1 7 3 8 6
5.
5 8 1 4 3 7 9 2 6
9 2 3 6 5 1 8 7 4
6 4 7 2 8 9 5 3 1
7 5 2 3 6 4 1 9 8
8 9 6 7 1 5 2 4 3
1 3 4 8 9 2 7 6 5
3 1 5 9 7 6 4 8 2
2 6 9 1 4 8 3 5 7
4 7 8 5 2 3 6 1 9
6.
8 9 4 1 6 2 3 7 5
1 3 7 4 9 5 8 6 2
5 6 2 7 3 8 1 4 9
3 5 1 8 7 4 2 9 6
7 4 9 3 2 6 5 1 8
6 2 8 9 5 1 7 3 4
9 8 3 2 4 7 6 5 1
2 7 6 5 1 9 4 8 3
4 1 5 6 8 3 9 2 7
7.
7 9 3 8 2 4 6 1 5
1 8 5 7 6 3 4 9 2
4 6 2 9 1 5 7 3 8
8 4 9 3 7 2 1 5 6
5 7 1 4 9 6 2 8 3
3 2 6 5 8 1 9 4 7
2 5 4 1 3 7 8 6 9
6 3 8 2 4 9 5 7 1
9 1 7 6 5 8 3 2 4
8.
4 5 9 1 6 3 2 8 7
1 7 8 9 4 2 5 6 3
3 6 2 5 8 7 1 9 4
8 3 5 2 1 4 9 7 6
9 1 7 6 3 5 4 2 8
2 4 6 7 9 8 3 5 1
7 9 1 3 2 6 8 4 5
6 8 3 4 5 9 7 1 2
5 2 4 8 7 1 6 3 9
Aritmét ica
Actividades
Page 48
Aplicamos lo aprendido
48 Intelectum 2.°
tema 1: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN Z+
1 Halla el menor número entero por el cual debemos multiplicar a
225 000 para que el producto sea un cuadrado perfecto.
A) 5 B) 6 C) 10
D) 15 E) 2
2 ¿Cuál es el menor número entero positivo por el cual debo
dividir a 600 para que el resultado sea un cuadrado perfecto?
A) 2 B) 3 C) 6
D) 12 E) 15
3 Halla a + k, si: a1 = k2
A) 17 B) 14 C) 15
D) 6 E) 9
4 ¿Cuántos números de 3 cifras son cuadrados perfectos?
A) 15 B) 22 C) 27
D) 32 E) 12
5 Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtuvo 6 de raíz y
5 de residuo. Calcula la suma de cifras del número.
A) 2 B) 5 C) 6
D) 8 E) 9
6 Determina la cantidad de números cuadrados perfectos que
terminan en 4 y están comprendidos entre los números cuadrados
perfectos 49a0 y 81b0.
A) 3 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
Resolución:
Sea N el menor número entero tal que:
225 000 . N = k2
152 . 102 . 10 . N = k2
1502 . 10 . N = k2
.
10
` N = 10
Resolución:
N k
600 2=
. .N k
2 5 33 2 2=
El exponente de 2 debe ser °2.
Nmín. = 2 . 3
& k2 = 22 . 52
` N = 6
Resolución:
a1 = k2
Solo cumple para: k = 9
& a1 = 92
a1 = 81
& a = 8
Piden:
a + k = 8 + 9 = 17
` a + k = 17
Resolución:
Del enunciado:
100 # abc # 999
mín. máx.
100 # x2 # 999
10 # x # 31,6 & x ! {10; 11; ...; 31}
x toma 22 valores
Luego, 22 números son cuadrados perfectos.
Resolución:
Del enunciado tenemos:
N
5
6
& N = 62 + 5 = 41
` ∑cifras de N = 4 + 1 = 5
Resolución:
49a0 1 mnp4 1 81b0 ... (1)
702 1 k2 1 902
70 1 k 1 90
k ! {71; 72; 73; ...; 89} ... (2)
De (1): mnp4 = k2 & k termina en 2 o 8.
Luego de (2): k ! {72; 78; 82; 88}
4 términos
` Hay 4 números cuadrados perfectos.
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Claves
49ARITMÉTICA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
1. C
2. C
3. A
4. B
5. B
6. B
7. B
8. A
9. B
10. E
11. A
12. D
13. C
14. D
7 ¿Cuántos numerales de la forma abab(7) son cuadrados
perfectos?
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7
8 Si ( ) ( ) ( )a b c c1 2 1 2 02 + - es un cuadrado perfecto, calcula
a + b + c.
A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13
9 Si 39ab es un cuadrado perfecto, calcula (a - b)2.
A) 4 B) 9 C) 16 D) 25 E) 49
10 ¿En cuántas bases de numeración menores que 50, el número
1331(n) es cubo perfecto?
A) 43 B) 4 C) 44 D) 41 E) 46
11 Sea R el resto de extraer la raíz cúbica de 1450. Calcula el
menor entero positivo que se le debe sumar a R para que
dicha suma sea un número que tenga raíz cúbica exacta.
A) 6 B) 16 C) 24 D) 73 E) 97
12 Determina el mayor número entero sabiendo que al extraerle
la raíz cuadrada se obtiene 5 de residuo y si se adiciona 142,
se convierte en un cuadrado perfecto. Da como respuesta la
suma de sus cifras.
A) 8 B) 18 C) 21 D) 15 E) 3
13 Si a un entero se le adiciona 1261, su raíz cúbica aumenta en
una unidad manteniendo el residuo inalterado. La raíz cúbica
del número es:
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
14 ¿Cuántos números menores que 10 000 al extraerles su raíz
cúbica dan como resto el máximo posible, siendo este múltiplo
de 7?
A) 5 B) 7 C) 2 D) 8 E) 6
Resolución:
abab(7) = k
2
ab(7)7
2 + ab(7) = k
2
50ab(7) = k
2
52 . 2 . ab(7) = k
2
2 . n2
ab(7) = 2n
2
10(7) # ab(7) # 66(7)
7 1 2n2 1 48
1,87... 1 n 1 4,89...
2; 3; 4
` Hay 3 numerales.
Resolución:
a b c c k1 2 1 2 02 2+ - =^ ^ ^h h h
2
1(2a)b500 = k2
n2
1(2a)b5 = n2
2
1(2a)25 = n2
1 35
` a + b + c = 1 + 2 + 2 = 5
Resolución:
39ab = k2
3900 # 39ab # 3999
3900 1 k2 1 3999
62,44... 1 k 1 63,23...
63
& 39ab = 632 = 3969
& a = 6 / b = 9
` (a - b)2 = (-3)2 = 9
Resolución:
1331(n) = n
3 + 3n2 + 3n + 1 ; (n 2 3)
1331(n) = (n + 1)
3, 6 n 2 3
cubo perfecto
Del enunciado: 3 1 n 1 50
n ! {4; 5; 6; 7; ...; 49}
46 términos
` Hay 46 bases.
Resolución:
14503 11
1331
119
Entonces: R = 119
Si le aumentamos: x
119 + x = k3 (cubo perfecto)
.
53 = 125
` x= 6
Resolución:
N2
5
k N 142+
0
p
N = k2 + 5 / N + 142 = p2
& k2 + 5 + 142 = p2
p2 - k2 = 147
(p + k)(p - k) = 147
Para que N sea máximo:
p + k = 147 / p - k = 1
&
p = 74 / k = 73
N = k2 + 5 = (73)2 + 5 = 5334
Suma de cifras de N:
5 + 3 + 3 + 4 = 15
Resolución:
N = k3 + r / N + 1261 = (k + 1)3 + r
& k3 + r + 1261 = (k + 1)3 + r
(k + 1)3 - k3 = 1261
& k = 20
` La raíz cúbica es 20.
Resolución:
N = q3 + 3q2 + 3q 1 10 000 ...(1)
N = 7º ...(2)
De (1): q3 + 3q2 + 3q + 1 1 10 001
(q + 1)3 1 10 001
q + 1 1 21,5
q 1 20,5
Luego, los valores de q que
satisfacen (2) son:
q ! {1; 3; 7; 8; 10; 14; 15; 17}
` Existen 8 números en total.
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Instrucciones: completa los tableros subdivididos en 9 cuadrados llenando las celdas vacías con los números del 1 al 9, sin que se repita ninguna cifra,
en cada fila, ni en cada columna, ni en cada cuadrado.
1.
9 7 8 3 1
4 7 1 6 2
2 3
1 7 8 2
7 1 9 5
8 2 6 3
5 6
2 5 6 9 3
1 7 9 2 8
2.
4 7 5
1 5 6 7
8 2 5
8 1 6 7 3
5 9 4 3 6
6 3 8 2 5
3 1 7
2 6 8 4
3 7 6
3.
6 8 1 7
1 3 5 9
9 1 2
1 3 4 7
7 6 2 4 9
2 3 6 8
2 8 4
8 3 6 7
4 1 5 6
4.
2 4 6
8 5 9 4
6 2
5 7 2 6 1
3 1 5 7 9
4 1 9 6 3
1 8 2
4 5 9
2 9 3
5.
5 8 3 2 6
6 1
4 8 3
7 2 6 1 8
9 6 7 5 2 4
1 4 9 7 5
1 7 8
1 8
4 7 2 1 9
6.
4 3
3 5 6
5 2 3 8 1 9
5 1 7
9 3 2 6 5
5 7 3
9 3 2 4 6 1
7 5 8
5 9
7.
7 9 3
5 7 6 4 2
4 3
4 3 2 5
7 4 9 6 8
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