Download 122-1-310-1-10-20150525.pdf PDF

Title122-1-310-1-10-20150525.pdf
File Size236.5 KB
Total Pages6
Document Text Contents
Page 1

Sulistyono, Metode Beda Hingga Skema Eksplisit   …| 41

APLIKASI METODE BEDA HINGGA SKEMA EKSPLISIT PADA PERSAMAAN 
KONDUKSI PANAS 

Bambang Agus Sulistyono  

Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNP Kediri                                                             
[email protected] 

Abstrak 
Paper  ini  mengkaji  bentuk  numerik  dari  persamaan  konduksi  panas  yang  model 
matematikanya  berbentuk  persamaan  diferensial  parsial  tipe  parabolik  dengan 
menggunakan  metode  beda  hingga  skema  eksplisit.  Dikaji  pula  stabilitas  skema 
tersebut dengan  cara mengambil beberapa nilai  . Dari kajian  ini diperoleh bahwa 
skema  eksplisit  akan memberikan  hasil  yang  baik  (stabil)  bila    cukup  kecil  atau 

kondisi hitungan akan stabil bila nilai   . 

Kata kunci: pdp parabolik, metode beda hingga, skema eksplisit, stabilitas 

PENDAHULUAN 

Persamaan  diferensial  adalah  suatu  persamaan  yang  mengandung  fungsi  dan 
turunannya  yang  tidak  diketahui.  Jika  terdapat  satu  variabel  bebas  dan  turunannya 
merupakan  turunan  biasa  maka  disebut  dengan  persamaan  diferensial  biasa,  dan  jika 
terdapat  dua  atau  lebih  variabel  bebas  dan  turunannya  adalah  turunan  parsial  maka 
persamaannya disebut dengan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial 
menurut  nilai  koefisiennya  dibedakan  atas  tiga  persamaan,  yaitu  persamaan  parabolik, 
persamaan eliptik, dan persamaan hiperbolik. 

Kebanyakan  permasalahan  dalam  ilmu  pengetahuan  dan  teknologi  dapat 
dipresentasikan  dalam  bentuk  persamaan  diferensial  parsial.  Persamaan  tersebut 
memegang peranan penting di dalam penggambaran keadaan fisis, dimana besaran‐besaran  
yang terlibat didalamnya berubah terhadap ruang dan waktu.  

Persamaan  parabolik  biasanya merupakan  persamaan  yang  tergantung  pada waktu 
(tidak permanen). Penyelesaian persamaan  tersebut memerlukan  kondisi awal dan batas. 
Persamaan  eliptik  biasanya  berhubungan  dengan  masalah  keseimbangan  atau  kondisi 
permanen  (tidak  tergantung  waktu),  dan  penyelesaiannya  memerlukan  kondisi  batas  di 
sekeliling  daerah  tinjauan.  Persamaan  hiperbola  biasanya  berhubungan  dengan  getaran, 
atau  permasalahan  di mana  terjadi  ketidak‐kontinyuan  dalam waktu,  seperti  gelombang 
kejut  yang  terjadi  ketidak‐kontinyuan  dalam  kecepatan,  tekanan  dan  rapat  massa. 
Penyelesaian dari persamaan hiperbolik mirip dengan penyelesaian persamaan parabola. 

Dalam  paper  ini  akan    dikaji  bentuk  numerik  dari  persamaan  konduksi  panas  yang 
model  matematikanya  berbentuk  persamaan  diferensial  parsial  tipe  parabolik  dengan 
menggunakan  metode  beda  hingga  skema  eksplisit.  Pada  skema  eksplisit,  variabel 
(temperatur) pada suatu titik dihitung secara  langsung dari beberapa variabel di beberapa 
titik di sekitarnya pada waktu sebelumnya, yang sudah diketahui nilainya. Dengan metode 
ini, penurunan persamaan diferensial ke dalam bentuk beda hingga adalah mudah, namun

Page 2

42 | Jurnal Math Educator Nusantara Volume 01 Nomor 01,  Mei 2015

kendala utamanya adalah kemungkinan terjadinya ketidakstabilan hitungan. Oleh karena itu 
dikaji pula stabilitas skema eksplisit dengan cara mengambil beberapa nilai dari ∆ . 

PERSAMAAN KONDUKSI PANAS 

Perhatikan  tafsiran  grafis  secara  intuisi    aliran  panas  yang melalui medium  padat 
berikut ini: 

 
 
 
Panas mengalir dari benda bertemperatur  lebih tinggi ke benda bertemperatur  lebih 

rendah.  Laju  perpindahan  panas  yang melewati  benda  padat  sebanding  dengan  gradien 
temperatur atau beda temperatur persatuan panjang.  

 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
Jika sebuah elemen batang    logamyang panjang dan tipis dipanaskan pada salah satu 

ujungnya, sedang ujung yang  lain adalah tetap, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2, maka 
dapat diturunkan suatu persamaan untuk memprediksi   panas/temperatur yang merambat 
pada  batang  dari  ujung  A  ke  ujung  B  dalam  suatu  interval waktu  tertentu  (∆ ).  Dengan 
menggunakan  prinsip  keseimbangan  input‐output panas  yang  di  serap,  maka  dapat 
dituliskan persamaan: 

 
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆        (1) 

membagi persamaan (1) dengan volume dari elemen (∆ ∆ ∆ ) dan ∆ , 







2  

dengan mengambil limitnya, diperoleh bentuk: 

L

A  B 

perambatan panas

Gambar 2. Perambatan panas pada batang
logam

Gambar 1. Tafsiran secara intuisi aliran
panas

Page 3

Sulistyono, Metode Beda Hingga Skema Eksplisit   …| 43

 

dan dari hukum konduksi panas Fourier, maka dihasilkan persamaan konduksi panas sebagai 
berikut: 

 

 
dengan Tadalah  temperatur, Kadalah  koefisien  konduktifitas,  tadalah waktu dan  x  adalah 
jarak (ruang). 

Persamaan (4) berlaku untuk daerah   dan  , dengan  adalah waktu 
hitungan total, sedangkan kondisi awal dan batas adalah 

           ;  
          ;                                                        (5) 
          ;  

Dalam  persamaan  (5),    adalah  kondisi  awal  sedangkan    dan    adalah 
kondisi batas. 

METODE BEDA HINGGA SKEMA EKSPLISIT 

Penyelesaian persamaan    tipe parabolik dengan menggunakan metode beda hingga 
dapat  dibedakan  menjadi  dua  metode  (skema)  dasar,  yaitu  skema  eksplisit  dan  skema 
implisit. Pada skema eksplisit, variabel pada waktu  n 1, dihitung berdasarkan variabel pada 
waktu n yang sudah diketahui (gambar 1).  

     

     

     

     

     

     

 

 

 
Dengan menggunakan skema seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3, fungsi variabel 

(temperatur) T(x,t) dan turunannya dalam ruang dan waktu didekati oleh bentuk berikut: 
 

 

 

 

i i 1 i 1

n

n 1

n 1

penyelesaian diketahui
sampai waktu n

Gambar 3. Skema eksplisit

Page 4

44 | Jurnal Math Educator Nusantara Volume 01 Nomor 01,  Mei 2015

 
Dengan menggunakan skema di atas, Persamaan (4) dapat ditulis dalam bentuk berikut: 
 


2


 

 



2 6  

 
Penyelesaian  Persamaan  (4)  dan  (5)  terhadap  batang  logam  yang  dipanaskan  (AB) 

dilakukan  dengan  membagi  batang  logam  tersebut  menjadi  sejumlah  pias.  Selanjutnya 
dibuat  jaringan  titik hitungan dalam bidang  x t.  Jarak  antara  titik hitungan  (panjang pias) 
adalah ∆ ⁄ , dengan M adalah jumlah pias sedang interval waktu hitungan adalah ∆ . 
Dengan  Persamaan  (6)  dan  kondisi  batas  di  kedua  ujung  batang, memungkinkan  untuk 

menghitung    (i   1,  2,  ..., M 1)  berdasarkan  nilai    (i   1,  2,  ...,  M )  yang  telah 
diketahui.  

Pada awal hitungan, nilai awal dari temperatur   diketahui sebagai kondisi awal. Dari 
nilai awal tersebut dan kondisi batas, dapat dihitung nilai T di sepanjang batang logam (i  1, 
2,  ...,  M )  pada  waktu  berikutnya.  Nilai  yang  telah  dihitung  tersebut  digunakan  untuk 
menghitung Ti (i  1, 2,  ..., M ) untuk waktu berikutnya  lagi. Prosedur hitungan  ini diulangi 
lagi sampai akhirnya di dapat nilai Ti (i  1, 2, ..., M ) untuk semua nilai waktu. 

HASIL DAN PEMBAHASAN 

Penerapan metode beda hingga skema eksplisit pada persamaan konduksi panas satu 
dimensi  dapat  dilakukan  dengan  memberikan  sebuah  contoh  kasussebagai  berikut, 
diberikan  sebuah batang  logam  yang pada kedua ujungnya dipertahankan  temperaturnya 
konstan yaitu 0 . Akan dicari penyebaran temperatur disepanjang batang logam dan untuk 
setiap langkah waktu. Secara matematis permasalahan tersebut dapat digamabrkan sebagai 
penyelesaian numerik dari persamaan: 

 

yang memenuhi kondisi awal 

, 0
2 , 0 0.5
2 1 , 0 1 ,  

Dann kondisi batas 
0, 1, 0 . 

Dalam  kasus  ini  dianggap  bahwa  K  1,  sehingga  bentuk  persamaan  beda  hingga 
skema eksplisit (Persamaan 6) menjadi: 




2  

atau 

1 2 7

Page 5

Sulistyono, Metode Beda Hingga Skema Eksplisit   …| 45

dengan   
Perhitungan  dilakukan  menggunakan  Matlab  terhadap  Persamaan  7  dengan 

mengambil  beberapa  keadaan,  yaitu    dan  ,  dan  hasil  plot  untuk 
 adalah sebagai berikut: 

 
 
Berdasarkan hasil dari plot dalam Gambar 4 dengan  menunjukkan bahwa perubahan 
temperatur  dari waktu  ke  waktu  terjadi  secara  berangsur‐angsur.  Hal  ini  sesuai  dengan 
kondisi fisik dan mencerminkan kondisi yang terjadi di alam. 

Selanjutnya  dilakukan  perhitungan  menggunakan  Matlab  dengan  mengambil 
beberapa  keadaan  yang  lain  yaitu    dan  ,  dan  hasil  plot  untuk 

 adalah sebagai berikut: 
Berdasarkan  hasil  dari  plot  dalam  Gambar  5  dengan   menunjukkan  bahwa 

perubahan  temperatur  dari  waktu  ke  waktu  tidak  terjadi  secara  berangsur‐angsur. 
Dibeberapa titik hitungan terjadi temperatur melebihi temperatur awal dan juga terjadi nilai 
negatif.  Secara  fisik  perubahan  semacam  itu  tidak  benar  dan  hasil  hitungan  tidak 
mencerminkan  kondisi  yang  terjadi  di  alam.  Hal  ini  disebabkan  karena  adanya 
ketidakstabilan hitungan pada kondisi tersebut. 

 

Gambar 4 Solusi numerik dari persamaan konduksi

0 0.5 1
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Similer Documents