Document Text Contents
Page 1
Sulistyono, Metode Beda Hingga Skema Eksplisit …| 41
APLIKASI METODE BEDA HINGGA SKEMA EKSPLISIT PADA PERSAMAAN
KONDUKSI PANAS
Bambang Agus Sulistyono
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNP Kediri
[email protected]
Abstrak
Paper ini mengkaji bentuk numerik dari persamaan konduksi panas yang model
matematikanya berbentuk persamaan diferensial parsial tipe parabolik dengan
menggunakan metode beda hingga skema eksplisit. Dikaji pula stabilitas skema
tersebut dengan cara mengambil beberapa nilai . Dari kajian ini diperoleh bahwa
skema eksplisit akan memberikan hasil yang baik (stabil) bila cukup kecil atau
kondisi hitungan akan stabil bila nilai .
Kata kunci: pdp parabolik, metode beda hingga, skema eksplisit, stabilitas
PENDAHULUAN
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung fungsi dan
turunannya yang tidak diketahui. Jika terdapat satu variabel bebas dan turunannya
merupakan turunan biasa maka disebut dengan persamaan diferensial biasa, dan jika
terdapat dua atau lebih variabel bebas dan turunannya adalah turunan parsial maka
persamaannya disebut dengan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial
menurut nilai koefisiennya dibedakan atas tiga persamaan, yaitu persamaan parabolik,
persamaan eliptik, dan persamaan hiperbolik.
Kebanyakan permasalahan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi dapat
dipresentasikan dalam bentuk persamaan diferensial parsial. Persamaan tersebut
memegang peranan penting di dalam penggambaran keadaan fisis, dimana besaran‐besaran
yang terlibat didalamnya berubah terhadap ruang dan waktu.
Persamaan parabolik biasanya merupakan persamaan yang tergantung pada waktu
(tidak permanen). Penyelesaian persamaan tersebut memerlukan kondisi awal dan batas.
Persamaan eliptik biasanya berhubungan dengan masalah keseimbangan atau kondisi
permanen (tidak tergantung waktu), dan penyelesaiannya memerlukan kondisi batas di
sekeliling daerah tinjauan. Persamaan hiperbola biasanya berhubungan dengan getaran,
atau permasalahan di mana terjadi ketidak‐kontinyuan dalam waktu, seperti gelombang
kejut yang terjadi ketidak‐kontinyuan dalam kecepatan, tekanan dan rapat massa.
Penyelesaian dari persamaan hiperbolik mirip dengan penyelesaian persamaan parabola.
Dalam paper ini akan dikaji bentuk numerik dari persamaan konduksi panas yang
model matematikanya berbentuk persamaan diferensial parsial tipe parabolik dengan
menggunakan metode beda hingga skema eksplisit. Pada skema eksplisit, variabel
(temperatur) pada suatu titik dihitung secara langsung dari beberapa variabel di beberapa
titik di sekitarnya pada waktu sebelumnya, yang sudah diketahui nilainya. Dengan metode
ini, penurunan persamaan diferensial ke dalam bentuk beda hingga adalah mudah, namun
Page 2
42 | Jurnal Math Educator Nusantara Volume 01 Nomor 01, Mei 2015
kendala utamanya adalah kemungkinan terjadinya ketidakstabilan hitungan. Oleh karena itu
dikaji pula stabilitas skema eksplisit dengan cara mengambil beberapa nilai dari ∆ .
PERSAMAAN KONDUKSI PANAS
Perhatikan tafsiran grafis secara intuisi aliran panas yang melalui medium padat
berikut ini:
Panas mengalir dari benda bertemperatur lebih tinggi ke benda bertemperatur lebih
rendah. Laju perpindahan panas yang melewati benda padat sebanding dengan gradien
temperatur atau beda temperatur persatuan panjang.
Jika sebuah elemen batang logamyang panjang dan tipis dipanaskan pada salah satu
ujungnya, sedang ujung yang lain adalah tetap, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2, maka
dapat diturunkan suatu persamaan untuk memprediksi panas/temperatur yang merambat
pada batang dari ujung A ke ujung B dalam suatu interval waktu tertentu (∆ ). Dengan
menggunakan prinsip keseimbangan input‐output panas yang di serap, maka dapat
dituliskan persamaan:
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ (1)
membagi persamaan (1) dengan volume dari elemen (∆ ∆ ∆ ) dan ∆ ,
∆
∆
∆
∆
2
dengan mengambil limitnya, diperoleh bentuk:
L
A B
perambatan panas
Gambar 2. Perambatan panas pada batang
logam
Gambar 1. Tafsiran secara intuisi aliran
panas
Page 3
Sulistyono, Metode Beda Hingga Skema Eksplisit …| 43
dan dari hukum konduksi panas Fourier, maka dihasilkan persamaan konduksi panas sebagai
berikut:
dengan Tadalah temperatur, Kadalah koefisien konduktifitas, tadalah waktu dan x adalah
jarak (ruang).
Persamaan (4) berlaku untuk daerah dan , dengan adalah waktu
hitungan total, sedangkan kondisi awal dan batas adalah
;
; (5)
;
Dalam persamaan (5), adalah kondisi awal sedangkan dan adalah
kondisi batas.
METODE BEDA HINGGA SKEMA EKSPLISIT
Penyelesaian persamaan tipe parabolik dengan menggunakan metode beda hingga
dapat dibedakan menjadi dua metode (skema) dasar, yaitu skema eksplisit dan skema
implisit. Pada skema eksplisit, variabel pada waktu n 1, dihitung berdasarkan variabel pada
waktu n yang sudah diketahui (gambar 1).
Dengan menggunakan skema seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3, fungsi variabel
(temperatur) T(x,t) dan turunannya dalam ruang dan waktu didekati oleh bentuk berikut:
i i 1 i 1
n
n 1
n 1
penyelesaian diketahui
sampai waktu n
Gambar 3. Skema eksplisit
Page 4
44 | Jurnal Math Educator Nusantara Volume 01 Nomor 01, Mei 2015
Dengan menggunakan skema di atas, Persamaan (4) dapat ditulis dalam bentuk berikut:
∆
2
∆
∆
∆
2 6
Penyelesaian Persamaan (4) dan (5) terhadap batang logam yang dipanaskan (AB)
dilakukan dengan membagi batang logam tersebut menjadi sejumlah pias. Selanjutnya
dibuat jaringan titik hitungan dalam bidang x t. Jarak antara titik hitungan (panjang pias)
adalah ∆ ⁄ , dengan M adalah jumlah pias sedang interval waktu hitungan adalah ∆ .
Dengan Persamaan (6) dan kondisi batas di kedua ujung batang, memungkinkan untuk
menghitung (i 1, 2, ..., M 1) berdasarkan nilai (i 1, 2, ..., M ) yang telah
diketahui.
Pada awal hitungan, nilai awal dari temperatur diketahui sebagai kondisi awal. Dari
nilai awal tersebut dan kondisi batas, dapat dihitung nilai T di sepanjang batang logam (i 1,
2, ..., M ) pada waktu berikutnya. Nilai yang telah dihitung tersebut digunakan untuk
menghitung Ti (i 1, 2, ..., M ) untuk waktu berikutnya lagi. Prosedur hitungan ini diulangi
lagi sampai akhirnya di dapat nilai Ti (i 1, 2, ..., M ) untuk semua nilai waktu.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penerapan metode beda hingga skema eksplisit pada persamaan konduksi panas satu
dimensi dapat dilakukan dengan memberikan sebuah contoh kasussebagai berikut,
diberikan sebuah batang logam yang pada kedua ujungnya dipertahankan temperaturnya
konstan yaitu 0 . Akan dicari penyebaran temperatur disepanjang batang logam dan untuk
setiap langkah waktu. Secara matematis permasalahan tersebut dapat digamabrkan sebagai
penyelesaian numerik dari persamaan:
yang memenuhi kondisi awal
, 0
2 , 0 0.5
2 1 , 0 1 ,
Dann kondisi batas
0, 1, 0 .
Dalam kasus ini dianggap bahwa K 1, sehingga bentuk persamaan beda hingga
skema eksplisit (Persamaan 6) menjadi:
∆
∆
2
atau
1 2 7
Page 5
Sulistyono, Metode Beda Hingga Skema Eksplisit …| 45
dengan
Perhitungan dilakukan menggunakan Matlab terhadap Persamaan 7 dengan
mengambil beberapa keadaan, yaitu dan , dan hasil plot untuk
adalah sebagai berikut:
Berdasarkan hasil dari plot dalam Gambar 4 dengan menunjukkan bahwa perubahan
temperatur dari waktu ke waktu terjadi secara berangsur‐angsur. Hal ini sesuai dengan
kondisi fisik dan mencerminkan kondisi yang terjadi di alam.
Selanjutnya dilakukan perhitungan menggunakan Matlab dengan mengambil
beberapa keadaan yang lain yaitu dan , dan hasil plot untuk
adalah sebagai berikut:
Berdasarkan hasil dari plot dalam Gambar 5 dengan menunjukkan bahwa
perubahan temperatur dari waktu ke waktu tidak terjadi secara berangsur‐angsur.
Dibeberapa titik hitungan terjadi temperatur melebihi temperatur awal dan juga terjadi nilai
negatif. Secara fisik perubahan semacam itu tidak benar dan hasil hitungan tidak
mencerminkan kondisi yang terjadi di alam. Hal ini disebabkan karena adanya
ketidakstabilan hitungan pada kondisi tersebut.
Gambar 4 Solusi numerik dari persamaan konduksi
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sulistyono, Metode Beda Hingga Skema Eksplisit …| 41
APLIKASI METODE BEDA HINGGA SKEMA EKSPLISIT PADA PERSAMAAN
KONDUKSI PANAS
Bambang Agus Sulistyono
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNP Kediri
[email protected]
Abstrak
Paper ini mengkaji bentuk numerik dari persamaan konduksi panas yang model
matematikanya berbentuk persamaan diferensial parsial tipe parabolik dengan
menggunakan metode beda hingga skema eksplisit. Dikaji pula stabilitas skema
tersebut dengan cara mengambil beberapa nilai . Dari kajian ini diperoleh bahwa
skema eksplisit akan memberikan hasil yang baik (stabil) bila cukup kecil atau
kondisi hitungan akan stabil bila nilai .
Kata kunci: pdp parabolik, metode beda hingga, skema eksplisit, stabilitas
PENDAHULUAN
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung fungsi dan
turunannya yang tidak diketahui. Jika terdapat satu variabel bebas dan turunannya
merupakan turunan biasa maka disebut dengan persamaan diferensial biasa, dan jika
terdapat dua atau lebih variabel bebas dan turunannya adalah turunan parsial maka
persamaannya disebut dengan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial
menurut nilai koefisiennya dibedakan atas tiga persamaan, yaitu persamaan parabolik,
persamaan eliptik, dan persamaan hiperbolik.
Kebanyakan permasalahan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi dapat
dipresentasikan dalam bentuk persamaan diferensial parsial. Persamaan tersebut
memegang peranan penting di dalam penggambaran keadaan fisis, dimana besaran‐besaran
yang terlibat didalamnya berubah terhadap ruang dan waktu.
Persamaan parabolik biasanya merupakan persamaan yang tergantung pada waktu
(tidak permanen). Penyelesaian persamaan tersebut memerlukan kondisi awal dan batas.
Persamaan eliptik biasanya berhubungan dengan masalah keseimbangan atau kondisi
permanen (tidak tergantung waktu), dan penyelesaiannya memerlukan kondisi batas di
sekeliling daerah tinjauan. Persamaan hiperbola biasanya berhubungan dengan getaran,
atau permasalahan di mana terjadi ketidak‐kontinyuan dalam waktu, seperti gelombang
kejut yang terjadi ketidak‐kontinyuan dalam kecepatan, tekanan dan rapat massa.
Penyelesaian dari persamaan hiperbolik mirip dengan penyelesaian persamaan parabola.
Dalam paper ini akan dikaji bentuk numerik dari persamaan konduksi panas yang
model matematikanya berbentuk persamaan diferensial parsial tipe parabolik dengan
menggunakan metode beda hingga skema eksplisit. Pada skema eksplisit, variabel
(temperatur) pada suatu titik dihitung secara langsung dari beberapa variabel di beberapa
titik di sekitarnya pada waktu sebelumnya, yang sudah diketahui nilainya. Dengan metode
ini, penurunan persamaan diferensial ke dalam bentuk beda hingga adalah mudah, namun
Page 2
42 | Jurnal Math Educator Nusantara Volume 01 Nomor 01, Mei 2015
kendala utamanya adalah kemungkinan terjadinya ketidakstabilan hitungan. Oleh karena itu
dikaji pula stabilitas skema eksplisit dengan cara mengambil beberapa nilai dari ∆ .
PERSAMAAN KONDUKSI PANAS
Perhatikan tafsiran grafis secara intuisi aliran panas yang melalui medium padat
berikut ini:
Panas mengalir dari benda bertemperatur lebih tinggi ke benda bertemperatur lebih
rendah. Laju perpindahan panas yang melewati benda padat sebanding dengan gradien
temperatur atau beda temperatur persatuan panjang.
Jika sebuah elemen batang logamyang panjang dan tipis dipanaskan pada salah satu
ujungnya, sedang ujung yang lain adalah tetap, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2, maka
dapat diturunkan suatu persamaan untuk memprediksi panas/temperatur yang merambat
pada batang dari ujung A ke ujung B dalam suatu interval waktu tertentu (∆ ). Dengan
menggunakan prinsip keseimbangan input‐output panas yang di serap, maka dapat
dituliskan persamaan:
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ (1)
membagi persamaan (1) dengan volume dari elemen (∆ ∆ ∆ ) dan ∆ ,
∆
∆
∆
∆
2
dengan mengambil limitnya, diperoleh bentuk:
L
A B
perambatan panas
Gambar 2. Perambatan panas pada batang
logam
Gambar 1. Tafsiran secara intuisi aliran
panas
Page 3
Sulistyono, Metode Beda Hingga Skema Eksplisit …| 43
dan dari hukum konduksi panas Fourier, maka dihasilkan persamaan konduksi panas sebagai
berikut:
dengan Tadalah temperatur, Kadalah koefisien konduktifitas, tadalah waktu dan x adalah
jarak (ruang).
Persamaan (4) berlaku untuk daerah dan , dengan adalah waktu
hitungan total, sedangkan kondisi awal dan batas adalah
;
; (5)
;
Dalam persamaan (5), adalah kondisi awal sedangkan dan adalah
kondisi batas.
METODE BEDA HINGGA SKEMA EKSPLISIT
Penyelesaian persamaan tipe parabolik dengan menggunakan metode beda hingga
dapat dibedakan menjadi dua metode (skema) dasar, yaitu skema eksplisit dan skema
implisit. Pada skema eksplisit, variabel pada waktu n 1, dihitung berdasarkan variabel pada
waktu n yang sudah diketahui (gambar 1).
Dengan menggunakan skema seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3, fungsi variabel
(temperatur) T(x,t) dan turunannya dalam ruang dan waktu didekati oleh bentuk berikut:
i i 1 i 1
n
n 1
n 1
penyelesaian diketahui
sampai waktu n
Gambar 3. Skema eksplisit
Page 4
44 | Jurnal Math Educator Nusantara Volume 01 Nomor 01, Mei 2015
Dengan menggunakan skema di atas, Persamaan (4) dapat ditulis dalam bentuk berikut:
∆
2
∆
∆
∆
2 6
Penyelesaian Persamaan (4) dan (5) terhadap batang logam yang dipanaskan (AB)
dilakukan dengan membagi batang logam tersebut menjadi sejumlah pias. Selanjutnya
dibuat jaringan titik hitungan dalam bidang x t. Jarak antara titik hitungan (panjang pias)
adalah ∆ ⁄ , dengan M adalah jumlah pias sedang interval waktu hitungan adalah ∆ .
Dengan Persamaan (6) dan kondisi batas di kedua ujung batang, memungkinkan untuk
menghitung (i 1, 2, ..., M 1) berdasarkan nilai (i 1, 2, ..., M ) yang telah
diketahui.
Pada awal hitungan, nilai awal dari temperatur diketahui sebagai kondisi awal. Dari
nilai awal tersebut dan kondisi batas, dapat dihitung nilai T di sepanjang batang logam (i 1,
2, ..., M ) pada waktu berikutnya. Nilai yang telah dihitung tersebut digunakan untuk
menghitung Ti (i 1, 2, ..., M ) untuk waktu berikutnya lagi. Prosedur hitungan ini diulangi
lagi sampai akhirnya di dapat nilai Ti (i 1, 2, ..., M ) untuk semua nilai waktu.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penerapan metode beda hingga skema eksplisit pada persamaan konduksi panas satu
dimensi dapat dilakukan dengan memberikan sebuah contoh kasussebagai berikut,
diberikan sebuah batang logam yang pada kedua ujungnya dipertahankan temperaturnya
konstan yaitu 0 . Akan dicari penyebaran temperatur disepanjang batang logam dan untuk
setiap langkah waktu. Secara matematis permasalahan tersebut dapat digamabrkan sebagai
penyelesaian numerik dari persamaan:
yang memenuhi kondisi awal
, 0
2 , 0 0.5
2 1 , 0 1 ,
Dann kondisi batas
0, 1, 0 .
Dalam kasus ini dianggap bahwa K 1, sehingga bentuk persamaan beda hingga
skema eksplisit (Persamaan 6) menjadi:
∆
∆
2
atau
1 2 7
Page 5
Sulistyono, Metode Beda Hingga Skema Eksplisit …| 45
dengan
Perhitungan dilakukan menggunakan Matlab terhadap Persamaan 7 dengan
mengambil beberapa keadaan, yaitu dan , dan hasil plot untuk
adalah sebagai berikut:
Berdasarkan hasil dari plot dalam Gambar 4 dengan menunjukkan bahwa perubahan
temperatur dari waktu ke waktu terjadi secara berangsur‐angsur. Hal ini sesuai dengan
kondisi fisik dan mencerminkan kondisi yang terjadi di alam.
Selanjutnya dilakukan perhitungan menggunakan Matlab dengan mengambil
beberapa keadaan yang lain yaitu dan , dan hasil plot untuk
adalah sebagai berikut:
Berdasarkan hasil dari plot dalam Gambar 5 dengan menunjukkan bahwa
perubahan temperatur dari waktu ke waktu tidak terjadi secara berangsur‐angsur.
Dibeberapa titik hitungan terjadi temperatur melebihi temperatur awal dan juga terjadi nilai
negatif. Secara fisik perubahan semacam itu tidak benar dan hasil hitungan tidak
mencerminkan kondisi yang terjadi di alam. Hal ini disebabkan karena adanya
ketidakstabilan hitungan pada kondisi tersebut.
Gambar 4 Solusi numerik dari persamaan konduksi
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
