Download Analiza-Matematica-Radu-Miculescu.pdf PDF

TitleAnaliza-Matematica-Radu-Miculescu.pdf
File Size2.1 MB
Total Pages545
Document Text Contents
Page 273

EXTINDEREA FUNCŢIILOR CONTINUE

Existeņta unei funçtii continue care ia valori prestabilite pe două
muļtimi închise disjuncte

Teorema lui Tietze

Uneori este de dorit să se extindă domeniul unei funçtii continue fără a
schimba valorile funçtiei pe domeniul ei ini̧tial. Acest lucru poate fi realizat
într-un mod trivial, definind funçtia prin valoarea 0 în afara domeniului ei
ini̧tial de defini̧tie. Această metodă nu generează, de regulă, o extindere
continuă. De fapt, aşa cum se vede considerând funçtia f : R − {0} → R,
dată de f(x) = 1

x
, pentru orice x ∈ R − {0}, uneori nu există o extindere

continuă. Totuşi, aşa cum vom vedea mai jos, o extindere continuă există
întotdeauna dacă domeniul ini̧tial de defini̧tie este o muļtime închisă. Mai
mult, marginile extinderii se află între marginile funçtiei ini̧tiale.

Existeņta unei funçtii continue care ia valori prestabilite pe două
muļtimi închise disjuncte

Observa̧tie. Fie A şi B două submulţimi închise ale lui Rp, astfel ca

A ∩B = ∅.
Definim

d(x,A) = inf
y∈A
‖y − x‖

şi ϕ : Rp → R, prin
ϕ(x) =

d(x,A)

d(x,A) + d(x,B)
,

pentru orice x ∈ Rp.
Atunci ϕ este continuă şi are următoarele proprietăţi:

ϕ|A = 0,

ϕ|B = 1

şi
0 ≤ ϕ(x) ≤ 1,

pentru orice x ∈ Rp.

273

Similer Documents