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4.3. IL METODO QR 117

A, t
(k)
n,n−1 = 0 e t

(k)
n,n = µ. Questo suggerisce di scegliere

µ = t(k)n,n .

Con questa scelta la convergenza del metodo è quadratica, mentre nel caso di matrice
simmetrica, si dimostra (cf. [9]) che la convergenza è cubica.

Di questo fatto possiamo tenere conto durante l’esecuzione del metodo QR con shift,

controllando il valore di |t(k)n,n−1| e ponendolo uguale a zero se risulta

|t(k)n,n−1| < ǫ
(

|t(k)n−1,n−1|+ |t
(k)
n,n|
)

. (4.9)

Questo sarà il test da usare nell’implementazione del metodo QR con shift. Se, la matrice A

è in forma di Hessenberg superiore, l’azzeramento di t
(k)
n,n−1 implica che t

(k)
n,n sarà una buona

approssimazione di λn. Quindi, noto λn la ricerca dei rimanenti autovalori si farà sulla
matrice T (k)(1 : n − 1, 1 : n − 1), riducendo di volta in volta la dimensione del problema
fino a determinare tutti gli autovalori di A. In pratica una strategia di deflazione.

Riassumendo, il metodo QR con shift si può implementare come segue:

function [T,iter]=MetQRShift(A,tol,kmax)

nA=size(A); n=nA(1);

[Q,R]=qr(A);

T=Q*R;

iter=1;

for k=n:-1:2,

I=eye(k);

while convergenzaQRShift(T,tol,k)==0 & iter <= kmax,

mu=T(k,k);

[Q,R]=qr(T(1:k,1:k)-mu*I);

T(1:k,1:k)=R*Q+mu*I;

iter=iter+1;

end

T(k,k-1)=0; end

dove il test di convergenza, si farà implementando una funzione Matlab chiamata convergenzaQRShift
per la disuguaglianza (4.9).

⋄⋄

Esercizio 37. Calcolare con il metodo QR tutti gli autovalori di A=[30 1 2 3; 4 15 -4
-2; -1 0 3 5; -3 5 0 -1];. Determinare anche il numero di iterazioni fatte.

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Bibliografia

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