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EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN MUÉSTRALESEJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN MUÉSTRALES
11 Suponga que una máquina produce tornillos, cuyos diámetros se distribuyen
normalmente, con media igual a 0.5 pulgadas y desviación estándar de 0.01
pulgadas. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio esté comprendido
entre 0.! y 0.51 pulgadas, para una muestra de tornillos"
R/R/Datos:Datos:
μ=0,5 σ =0.01 n=4 x1=0,49 x2=0,51
P (0,49< x<0,51 )= P (−1<Z <1 )
Z =
x− μ
σ x
⇒σ ́ x=
σ
√ n
=
0.01
√ 4
=0.005
Para 0,49 Z 1=
0,49−0,5
0,005
=
−0,01
0,005
=−2 Z
1
=−2
Para 0,51
Z
2= 0,51−0,5
0,005
= 0,01
0,005
=2
Z
2
=2
P (−2<Z <2 )= P (Z <2 )− P ( Z <−2 ) P (−2<Z <2 )=0,9772−0,0228
P (−2<Z <2 )=0,9544
22 Se desea estudiar una muestra de ! personas para saber la proporción de
ellas que tienen más de 0 a#os$ sabiendo que la proporción en la población
es de 0.. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea
menor que 0.5, si se trata de una población muy grande"
R/R/Datos:Datos:
n=49 ´ p=0.5 P=0,4 q=1− P=1−0,4=0,6
Z =
p− P
σ ́ x
⇒σ ́ x=√ Pqn =√ (0,4 ) (0,6 )49 =0,07
Z =
0.5−0,4
0,07
=
0,1
0,07
=1,43 Z =1,43
P ( ´ p< 0,5 )= P (Z <1,43)=0,9236
33 Se sabe por e%periencia que el &5' de los estudiantes universitarios de cierta
ciudad, pre(ieren cierta marca de crema dental. Cuál es la probabilidad de que
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en una muestra de 100 universitarios de dic)a ciudad encontre mos que como
má%imo el &*' son usuarios de este tipo de crema.
R/R/
Datos:Datos:
P=65 =0,65 n=100 q=1− P=1−0,65=0,35 P ( ´ p<0,68 )
Z =
p− P
σ ́ x
⇒σ ́ x=
√
Pq
n
=
√
(0,65 ) (0,35 )
100
=0,047
Z =
0,68−0,65
0,047
=
0,03
0,047
=0,63 Z =0,63
P ( ´ p<0,68 )= P (Z <0,63 )=0,7357
44 +ara elegir presidente de un sindicato, un candidato obtuvo el 0' de los
votos. eterminar la probabilidad de que entre -00 de los electores elegidos
aleatoriamente entre un total *00 a(iliados, se )ubiera obtenido la mayora de
los votos para dic)o candidato. /sumamos que la mayora es un porcentae
superior al 51'.
R/R/
Datos:Datos:
P=0,40 ´ p=0,51 n=200
1
2 n
=
1
2∗(200 )
=
1
400
=0,0025
Entonces
Z =
( (0.50−0.0025 )−0.40 )
√ (0.40 )∗(0.60 )200
Z =
0.4975−0.40
√
0.24
200
Z =
0.0975
√ 0.24200
Z =
0.0975
√ 0.0012
=2.81
Z =2.81→ A (0.4975) P=0.5−0.4975=0.0025 P=0.25
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S% %st&'a (o) *) ++, -% (o).&a)a 0*% a -*a(&) o'%-&o -% osS% %st&'a (o) *) ++, -% (o).&a)a 0*% a -*a(&) o'%-&o -% os
.*s&%s 0*% o-*(% a (o'a7a os(&a %)t% 16!8! 9 16+186.*s&%s 0*% o-*(% a (o'a7a os(&a %)t% 16!8! 9 16+186
22 Con relación al problema 1 cuál es el error má%imo en la estimación.
R/R/
Datos:Datos:
Z
α
2
=2.575
σ ́ x=2.48
E=Z α
2
∗σ ́ x
E=2.575∗2.48 E=6.386
33 Con relación al problema 1 suponga que la muestra (ue de tama#o -0 cuya
media es 1&*5,- )oras y desviación estándar -,* )oras. Calcule el intervalo
de con(ian9a de !!'.
R/R/
Datos:Datos:
n=20
´ x=1685.2
σ =24.8
Conf =99 =0.99
α
2
=
1
2
=0.5 =0.005
0.99+0.005=0.9950 →2.575 enlatala Z α
2
=2.575 σ ́ x=
σ
√ n
=
24.8
√ 20
=5.545
´ x−Z α
2
∗σ ́ x ! μ ! ´ x+ Z α
2
∗σ ́ x 1685.2− 2.575∗5.545 ! μ !1685.2+ 2.575∗5.545
1670.93! μ !1699.47
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44 Con relación al problema 1 si se quiere tener un má%imo error en la estimación
de - )oras cual debe ser el tama#o de la muestra.
R/R/
Datos:Datos:
E=2"oras
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Z α
2
=2.575
σ =24.8
n=#
E=Z α
2
∗σ ́ x
E=
Z α
2
∗σ
√ n
√ n=
Z α
2
∗σ
E
n=(
Z α
2
∗σ
E )
2
n=(
2.575∗24.8
2 )
2
=(
63.86
2 )
2
=1019,5
n=1019,5
E)to)(%s s& 0*%%'os t%)% *) ';<&'o %o %) a %st&'a(&) -% 2 =oasE)to)(%s s& 0*%%'os t%)% *) ';<&'o %o %) a %st&'a(&) -% 2 =oas
% ta'ao aa a '*sta -%%; s% -% 11+85% ta'ao aa a '*sta -%%; s% -% 11+85
55 7na industria de muebles compro un lote de pie9as de madera de 1 metro de
longitud seg3n el vendedor. 8a industria con el (in de comprobar la e%actitud de
dic)a medida tomo una muestra aleatoria de dic)o lote y encontró las
siguientes medidas: 0.!!, 1.0, 0.!*, 0.!2, 1.05, 1.0-, 1.01, 1.00, 0.!!, 0.!5,
1.04, 1.0-. Calcule el intervalo de con(ian9a del verdadero promedio de
longitud del lote con un nivel de con(ian9a del !0'.
R/R/
Datos:Datos:
n=12 ´ x=1.0041 $=0.029
$ ´ x =
$
√ n
=
0.029
√ 12
=0.0083
Conf =90 =0.90
α
2
=
10
2
=5 =0.05
%l=n−1=12−1=11 t (%l :
α
2 )=t (11:0.05 )=1.796
´ x−t α
2
∗$ ´ x ! μ ! ´ x+ t α
2
∗$´ x 1.0041−(1.796∗0.0083 ) ! μ ! 1.0041+(1.796∗0.0083 )
0.9891! μ ! 1.0190
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o)?&t*- -% ot% -% &%as -% 'a-%ao)?&t*- -% ot% -% &%as -% 'a-%a os(&a %)t% 8+!+19 181+os(&a %)t% 8+!+19 181+
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EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE PRUEBAS DE EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE PRUEBAS DE IPÓTESISIPÓTESIS
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2 7na muestra aleatoria de tama#o
n
1
=25 tomada de una población normal
con desviación estándar
σ
1
=4,8 . Eiene una ´ x1=75 . 7na segunda muestra
aleatoria de tama#o n2=36 , tomada de una población normal con desviación
estándar
σ
2
=3,5
, tiene una media
´ x
2
=70
. +ruebe la )ipótesis nula
μ
1
μ
2 en contraposición a la alterna
μ
1
μ
2 . >ivel de signi(icación del 5'.
* os máquinas di(erentes / y se uti li9a para prod ucir pernos idénticos que
deben tener - pulgadas de longitud. Se toma una muestra aleatoria de -5
penos de la producción de la maquina / y otra muestra aleatoria de -5 pernos
de la maquina , las cuales arroan varian9a de 0,0 y 0,0 pulgadas
respectivamente. ¿evidencian los anteriores datos que la varian9a de es
mayor que la de /" 7tilice un nivel de signi(icación del 1'.
! 8a desviación tpica de la tensi ón de rupturas de ciertos cables producidos por
una empresa es de -0 libras. Eras un cambio en el proceso de producción,
una muestra de * cables dio una desviación tpica de 400 libras. Anvestigar si
es signi(icativo ese incremento en la variabilidad. Con un nivel de signi(icación
del '.
EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN MUÉSTRALESEJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN MUÉSTRALES
11 Suponga que una máquina produce tornillos, cuyos diámetros se distribuyen
normalmente, con media igual a 0.5 pulgadas y desviación estándar de 0.01
pulgadas. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio esté comprendido
entre 0.! y 0.51 pulgadas, para una muestra de tornillos"
R/R/Datos:Datos:
μ=0,5 σ =0.01 n=4 x1=0,49 x2=0,51
P (0,49< x<0,51 )= P (−1<Z <1 )
Z =
x− μ
σ x
⇒σ ́ x=
σ
√ n
=
0.01
√ 4
=0.005
Para 0,49 Z 1=
0,49−0,5
0,005
=
−0,01
0,005
=−2 Z
1
=−2
Para 0,51
Z
2= 0,51−0,5
0,005
= 0,01
0,005
=2
Z
2
=2
P (−2<Z <2 )= P (Z <2 )− P ( Z <−2 ) P (−2<Z <2 )=0,9772−0,0228
P (−2<Z <2 )=0,9544
22 Se desea estudiar una muestra de ! personas para saber la proporción de
ellas que tienen más de 0 a#os$ sabiendo que la proporción en la población
es de 0.. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea
menor que 0.5, si se trata de una población muy grande"
R/R/Datos:Datos:
n=49 ´ p=0.5 P=0,4 q=1− P=1−0,4=0,6
Z =
p− P
σ ́ x
⇒σ ́ x=√ Pqn =√ (0,4 ) (0,6 )49 =0,07
Z =
0.5−0,4
0,07
=
0,1
0,07
=1,43 Z =1,43
P ( ´ p< 0,5 )= P (Z <1,43)=0,9236
33 Se sabe por e%periencia que el &5' de los estudiantes universitarios de cierta
ciudad, pre(ieren cierta marca de crema dental. Cuál es la probabilidad de que
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en una muestra de 100 universitarios de dic)a ciudad encontre mos que como
má%imo el &*' son usuarios de este tipo de crema.
R/R/
Datos:Datos:
P=65 =0,65 n=100 q=1− P=1−0,65=0,35 P ( ´ p<0,68 )
Z =
p− P
σ ́ x
⇒σ ́ x=
√
Pq
n
=
√
(0,65 ) (0,35 )
100
=0,047
Z =
0,68−0,65
0,047
=
0,03
0,047
=0,63 Z =0,63
P ( ´ p<0,68 )= P (Z <0,63 )=0,7357
44 +ara elegir presidente de un sindicato, un candidato obtuvo el 0' de los
votos. eterminar la probabilidad de que entre -00 de los electores elegidos
aleatoriamente entre un total *00 a(iliados, se )ubiera obtenido la mayora de
los votos para dic)o candidato. /sumamos que la mayora es un porcentae
superior al 51'.
R/R/
Datos:Datos:
P=0,40 ´ p=0,51 n=200
1
2 n
=
1
2∗(200 )
=
1
400
=0,0025
Entonces
Z =
( (0.50−0.0025 )−0.40 )
√ (0.40 )∗(0.60 )200
Z =
0.4975−0.40
√
0.24
200
Z =
0.0975
√ 0.24200
Z =
0.0975
√ 0.0012
=2.81
Z =2.81→ A (0.4975) P=0.5−0.4975=0.0025 P=0.25
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22 Con relación al problema 1 cuál es el error má%imo en la estimación.
R/R/
Datos:Datos:
Z
α
2
=2.575
σ ́ x=2.48
E=Z α
2
∗σ ́ x
E=2.575∗2.48 E=6.386
33 Con relación al problema 1 suponga que la muestra (ue de tama#o -0 cuya
media es 1&*5,- )oras y desviación estándar -,* )oras. Calcule el intervalo
de con(ian9a de !!'.
R/R/
Datos:Datos:
n=20
´ x=1685.2
σ =24.8
Conf =99 =0.99
α
2
=
1
2
=0.5 =0.005
0.99+0.005=0.9950 →2.575 enlatala Z α
2
=2.575 σ ́ x=
σ
√ n
=
24.8
√ 20
=5.545
´ x−Z α
2
∗σ ́ x ! μ ! ´ x+ Z α
2
∗σ ́ x 1685.2− 2.575∗5.545 ! μ !1685.2+ 2.575∗5.545
1670.93! μ !1699.47
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44 Con relación al problema 1 si se quiere tener un má%imo error en la estimación
de - )oras cual debe ser el tama#o de la muestra.
R/R/
Datos:Datos:
E=2"oras
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Z α
2
=2.575
σ =24.8
n=#
E=Z α
2
∗σ ́ x
E=
Z α
2
∗σ
√ n
√ n=
Z α
2
∗σ
E
n=(
Z α
2
∗σ
E )
2
n=(
2.575∗24.8
2 )
2
=(
63.86
2 )
2
=1019,5
n=1019,5
E)to)(%s s& 0*%%'os t%)% *) ';<&'o %o %) a %st&'a(&) -% 2 =oasE)to)(%s s& 0*%%'os t%)% *) ';<&'o %o %) a %st&'a(&) -% 2 =oas
% ta'ao aa a '*sta -%%; s% -% 11+85% ta'ao aa a '*sta -%%; s% -% 11+85
55 7na industria de muebles compro un lote de pie9as de madera de 1 metro de
longitud seg3n el vendedor. 8a industria con el (in de comprobar la e%actitud de
dic)a medida tomo una muestra aleatoria de dic)o lote y encontró las
siguientes medidas: 0.!!, 1.0, 0.!*, 0.!2, 1.05, 1.0-, 1.01, 1.00, 0.!!, 0.!5,
1.04, 1.0-. Calcule el intervalo de con(ian9a del verdadero promedio de
longitud del lote con un nivel de con(ian9a del !0'.
R/R/
Datos:Datos:
n=12 ´ x=1.0041 $=0.029
$ ´ x =
$
√ n
=
0.029
√ 12
=0.0083
Conf =90 =0.90
α
2
=
10
2
=5 =0.05
%l=n−1=12−1=11 t (%l :
α
2 )=t (11:0.05 )=1.796
´ x−t α
2
∗$ ´ x ! μ ! ´ x+ t α
2
∗$´ x 1.0041−(1.796∗0.0083 ) ! μ ! 1.0041+(1.796∗0.0083 )
0.9891! μ ! 1.0190
S% %st&'a (o) *) +, -% (o).&a)a 0*% % >%-a-%o o'%-&o -%S% %st&'a (o) *) +, -% (o).&a)a 0*% % >%-a-%o o'%-&o -%
o)?&t*- -% ot% -% &%as -% 'a-%ao)?&t*- -% ot% -% &%as -% 'a-%a os(&a %)t% 8+!+19 181+os(&a %)t% 8+!+19 181+
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2 7na muestra aleatoria de tama#o
n
1
=25 tomada de una población normal
con desviación estándar
σ
1
=4,8 . Eiene una ´ x1=75 . 7na segunda muestra
aleatoria de tama#o n2=36 , tomada de una población normal con desviación
estándar
σ
2
=3,5
, tiene una media
´ x
2
=70
. +ruebe la )ipótesis nula
μ
1
μ
2 en contraposición a la alterna
μ
1
μ
2 . >ivel de signi(icación del 5'.
* os máquinas di(erentes / y se uti li9a para prod ucir pernos idénticos que
deben tener - pulgadas de longitud. Se toma una muestra aleatoria de -5
penos de la producción de la maquina / y otra muestra aleatoria de -5 pernos
de la maquina , las cuales arroan varian9a de 0,0 y 0,0 pulgadas
respectivamente. ¿evidencian los anteriores datos que la varian9a de es
mayor que la de /" 7tilice un nivel de signi(icación del 1'.
! 8a desviación tpica de la tensi ón de rupturas de ciertos cables producidos por
una empresa es de -0 libras. Eras un cambio en el proceso de producción,
una muestra de * cables dio una desviación tpica de 400 libras. Anvestigar si
es signi(icativo ese incremento en la variabilidad. Con un nivel de signi(icación
del '.
