Download Kalkulus Dasar PDF

TitleKalkulus Dasar
File Size810.2 KB
Total Pages168
Document Text Contents
Page 2

Matematika Dasar


Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

SISTEM BILANGAN REAL



Bilangan real, dinotasikan dengan ℜ memainkan peranan yang sangat penting

dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan diberikan beberapa fakta dan terminologi

dari bilangan real. Secara geometri, bilangan real ℜ dapat digambarkan sebagai garis

bilangan, dinotasikan dengan ℜ = ( -∞,∞ ) . Sedangkan himpunan bagian dari garis

bilangan berupa segmen garis atau interval dinotasikan dengan himpunan sebagai berikut.



Garis bilangan : Interval dan himpunan







a b



{ }[ , ] |a b x a x b= ≤ ≤ { }( , ) |a b x a x b= < <
{ }[ , ) |a b x a x b= ≤ < { }( , ] |a b x a x b= < ≤
{ }( , ) |b x x b∞ = > { }[ , ) |b x x b∞ = ≥

{ }( , ) |−∞ = <a x x a { }( , ] |−∞ = ≤a x x a


Pertidaksamaan

Permasalahan Matematika yang berkaitan dengan interval terletak pada

pertidaksamaan aljabar. Himpunan jawab atau solusi dari pertidaksamaan aljabar

merupakan salah satu dari bentuk interval di atas. Adapun penjelasannya diberikan berikut.

Bentuk umum pertidaksamaan aljabar :



A x
B x

C x
D x

( )
( )

( )
( )

< , A(x), B(x), C(x) dan D(x) : suku banyak. ( tanda < dapat

digantikan oleh ≤ ≥ >, , ).



Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan disebut himpunan

penyelesaian atau solusi pertidaksamaan.

Page 84

Matematika Dasar

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

FUNGSI HIPERBOLIK



Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai berikut :

sinh coshx
e e

dan x
e ex x x x

=
-

=
+- -

2 2




Untuk fungsi hiperbolik yang lain :

1. tanh
sinh
cosh

x
x
x

e e

e e

x x

x x= =
-

+

-

-


2. coth
cosh
sinh

x
x
x

e e

e e

x x

x x= =
+

-

-

-


3. sec
cosh

h x
x e ex x

= =
- -

1 2


4. csc
sinh

h x
x e ex x

= =
+ -

1 2




Berikut beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik :



1. cosh
2
x - sinh

2
x = 1

2. 1 - tanh
2
x = sech

2
x

3. coth
2
x - 1 = csch

2
x

4. sinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

5. cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y

6. cosh x + sinh x = e
x
.

7. cosh x - sinh x = e
-x

.

8. sinh 2x = 2 sinh x cosh x

9. cosh 2x = cosh
2
x + sinh

2
x = 2 sinh

2
x + 1 = 2 cosh

2
x - 1

10. cosh ( -x ) = cosh x

11. sinh ( -x ) = - sinh x

12. sinh ( x - y ) = sinh x cosh y - cosh x sinh y

Page 85

Matematika Dasar

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

13. cosh ( x - y ) = cosh x cosh y - sinh x sinh y

14. ( )tanh
tanh tanh

tanh tanh
x y

x y
x y

+ =
+

+1


15. ( )tanh
tanh tanh

tanh tanh
x y

x y
x y

- =
-

-1


16. tanh
tanh
tanh

2
2

1
x

x
x

=
+



17. ( )cosh cosh1
2

1
2

1x x= +

18. ( )sinh cosh1
2

1
2

1x x= ± -

19. sinh sinh sinh coshx y
x y x y

+ =


è
ç

ö
ø
÷


è
ç

ö
ø
÷2

2 2


20. cosh cosh cosh coshx y
x y x y

+ =


è
ç

ö
ø
÷


è
ç

ö
ø
÷2

2 2






Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolik



Misal y = sinh u. Maka y D
e e e e

u u ux
u u u u

' ' cosh '=


è
ç
ç

ö

ø
÷
÷ =

+
=

- -

2 2
.

Jadi : cosh sinhu du u C= +ò


Untuk fungsi hiperbolik yang lain:



1. y u y u u u du u C= Þ = Û = +òcosh ' sinh ' sinh cosh

2. y u y h u u h u du u C= Þ = Û = +òtanh ' sec ' sec tanh2 2

3. y u y h u u h u du u C= Þ = - Û = - +òcoth ' csc ' csc coth2 2

Page 167

Matematika Dasar

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k atas lengkungan / lintasan C dalam arah positif$ dapat
dinyatakan sebagai integral permukaan dari curl F atas S berikut.

F r F n• = •∫ ∫∫d dA
C S

curl

Normal n ditentukan dari normalisasi gradien dari permukaan S yang dinyatakan secara

implisit, f ( x,y,z ) = 0, yaitu
( )
( )

n =
f x,y,z

f x,y,z




.



Contoh 11
Diketahui lapangan vektor F( x,y,z ) = 3 y i - x z j + y z2 k dan S permukaan
paraboloida 2 z = x2 + y2 dibatasi oleh z = 2 dengan lintasan C merupakan kelilingnya.

Gunakan teorema Stokes untuk menghtiung curl
S

F n•∫∫ dA

Jawab :
Lintasan C, x2 + y2 = 4 , z = 2 atau x = 2 cos t, y = 2 sin t , z = 2 dengan 0 ≤ t ≤ 2π .

( ) ( ) ( ) ( )( )( )curl ydx xzdy yz dz t t t dt
S C C

F n F r• = • = − + = − −

= −

∫∫ ∫ ∫ ∫dA d 3 3 2 2 2 2

12

2

0

2
sin sin cos

π

π



Soal Latihan


( Nomor 1 sd 3 ) Selesaikan integral F n•∫∫ dA
S

bila

1. F( x,y,z ) = i + x2 j + x y z k dan permukaan S dinyatakan oleh daerah yang dibatasi
z = xy, 0 ≤ x ≤ y dan 0 ≤ y ≤ 1

2. F( x,y,z ) = cosh x i + sinh y k dan permukaan S dinyatakan oleh daerah yang
dibatasi z = x + y2, 0 ≤ y ≤ x dan 0 ≤ x ≤ 1.

3. F( x,y,z ) = x i - 2 x2 j + y z k dan permukaan S dinyatakan oleh daerah yang
dibatasi z = x + y , 0 ≤ x ≤ y dan 0 ≤ y ≤ 1.


( Nomor 4 sd 6 ) Hitung besar fluks dari gaya F yang menembus permukaan S bila

4. F( x,y,z ) = ( 9 - x2 ) j dan permukaan S merupakan bagian bidang 2x + 3y + 6z = 6

yang terletak di oktan pertama.

5. F( x,y,z ) = y i - x j + 2 k dan permukaan S ditentukan oleh z y x= − ≤ ≤1 0 52 ,


$ Lintasan C mempunyai arah positif bila seseorang berjalan menyusuri lintasan tersebut maka permukaan
S selalu terletak di sebelah kirinya.

Page 168

Matematika Dasar

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

6. F( x,y,z ) = 2 i + 5 j + 3 k dan permukaan S adalah bagian dari ( )z x y= +2 2 1 2/ yang
terletak di dalam tabung x2 + y2 = 1.



( Nomor 7 sd 10 ) Gunakan teorema divergensi gauss untuk menghitung F n•∫∫ dA
S

bila

7. F( x,y,z ) = z i + x j + y k dan permukaan S ditentukan oleh 0 9 2 2≤ ≤ − −z x y
8. F( x,y,z ) = x i + 2y j + 3z k dan permukaan S berupa kubus 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤

z ≤ 1
9. F( x,y,z ) = 3x i - 2y j + 4z k dan permukaan S dinyatakan oleh x2 + y2 + z2 ≤ 9
10. F( x,y,z ) = xyz k dan permukaan S merupakan tetrahedron yang dibatasi oleh bidang

x = 0, y = 0, z = 0 dan x + y + z =1


( Nomor 11 sd 13 ) Gunakan teorema Stokes untuk menghitung curl
S

F n•∫∫ dA

11. F( x,y,z ) = xy i + yz j + xz k dan S merupakan segitiga dengan titik sudut ( 0,0,0 ),
( 1,0,0 ) dan ( 0,2,1 )

12. F( x,y,z ) = yz i + 3xz j + z2 k dan S merupakan bagian bola x2 + y2 + z2 = 16 yang
terletak di bawah bidang z = 2.

13. F( x,y,z ) = ( z -y ) i + ( z + x ) j - ( x + y ) k dan S merupakan bagian paraboloida
z = 1 - x2 - y2 yang terletak di atas bidang XOY.

Similer Documents