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Ejercicios de
matemáticas de

4º de ESO






Julián Moreno Mestre





Algunos trucos de cálculo son bastante fáciles, otros son muy difíciles. Los tontos que
escriben los libros de matemáticas avanzadas pocas veces se toman la molestia de

mostrar cuán fáciles son los cálculos fáciles. Silvanus P. Thomson.


Edición 1.0

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Problemas geométricos con puntos, segmentos y rectas:
35º


Busca todos aquellos puntos P que estando situados sobre el segmento AB, A(1, 2) y
B(4, –1) dividan a este en dos partes de tal forma que una parte sea el doble que la otra.
Sol: P = (2, 1); P' = (3, 0).


36º


Las coordenadas del punto medio del segmento AB son (2, 1). Calcula las coordenadas
del punto A sabiendo que las coordenadas de B son (1, 2). Sol: (3, 0).


37º Sabiendo que A(2, 4) y C(6, 0). Hallar las coordenadas del punto B de modo que:

4
CB

CA =

Sol: (3, 3).


38º Se tiene el cuadrilátero ABCD con A(3, 2); B(1, –2); C(–1, –1); D(1, 3). Comprueba que
es un paralelogramo y calcula su centro y su área. Sol: (1,1/2); A = 10 u2.


39º Calcula el área del cuadrilátero de vértices A(2,0), B(4,4), C(0,3) y D(-2,-1). Sol: 14 u2.


40º Dados los puntos:
A(1, 3) B(5, 7) C(7, 5) D(3, 1)

Calcula los puntos medios de sus lados y comprueba que forman un paralelogramo.
Sol: ,AB (3, 5)mP = , ,BC (6, 6)mP = , ,CD (5, 3)mP = , ,DA (2, 2)mP = .


41º Un cuadrado de vértice A en el punto (0, 1) y su centro el punto (2, 1). Calcula las
coordenadas de los otros tres vértices. Sol: (2, 3), (4, 1), (2, –1)


42º De un cuadrado ACBD conocemos 2 vértices opuestos A(1, 2) y B(8, 3) Hallar sus otros
dos vértices. Sol: C(4, 6), D(5, –1).


43º Un cuadrado tiene por vértices contiguos los puntos A(0, 3) y B(2, 5). Calcula sus otros 2
vértices. ¿Cuántas soluciones tiene el problema?
Sol: Dos soluciones: C(2, 1), D(4, 3); C'(–2, 5), D'(0, 7).


44º Determina el vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(1, –2); B(3, –1) y
C(0, 3). Sol: D(–2, 2).


45º Sean las rectas:
1 2 3 4 0r x y≡ + − = 2 2 2 0r x y≡ − − =

3 4 6 22 0r x y≡ − − + = 4 2 4 10 0r x y≡ − + =
¿determinan un paralelogramo? En caso afirmativo calcular sus vértices.
Sol: (–1, 2), (1, 3), (4, 1), (2, 0).


46º Dadas las rectas:
1 2 3 3 0r x y≡ − − = 2 3 1 0r x y≡ − − = {3 3 4 ; 1 2 }r x t y t≡ = − = +

Calcula el área del triángulo que determinan. Sol: 5/2.


47º Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(1, 4), B(3, –2) y
C(–1, 0). Sol: 10 u2.

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Ejercicios de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas:
Ejercicios de circunferencias.

1º Halla el centro y el radio de las circunferencias:
a) 2 2 2 2 23 0x y x y+ − + − = b) 2 2 2 8 0x y y+ − − =
c) 2 2 2 6 6 0x y x y+ − − + = d) 2 2 2 0x y y+ − =
e) 2 2 4 2 4 0x y x y+ − + − = f) 2 2 10 8 5 0x y x y+ − + + =
g) 2 22 2 12 16 0x y x y+ − − = h) 2 22 2 2 2 0.5 0x y x y+ − − + =
i) 2 2 8 0x y x+ − = j) 2 2 3 0x y y+ + =

Sol: a) C(1, –1), R = 5; b) C(0, 1), R = 3; c) C(1, 3), R = 2; d) C(0, 1), R = 1;
e) C(2, –1), R = 3; f) C(5, –4). R = 6; g) C(3, 4). R = 5; h) C(1/2, –1/2). R = 1/2;
i) C(4, 0), R = 4; j) C(0, –3/2), R = 3/2.


2º ¿Cuáles de las siguientes expresiones representan circunferencias?
a) 2 2 2 5 0x y x y− + + + = b) 2 2 3 3 0x y xy y+ + + − =
c) 2 22 2 8 10 0x y y+ − − = d) 2 2 4 4 2 0x y x y− − − + =
e) 2 22 2 2 2 1 0x y x y+ − − − = f) 2 2 4 2 1x y x y+ − − = −
g) 2 2 1 0x y xy x+ − + − = h) 2 22 4x y y− + = −

Sol: a) No; b) No; c) Sí; d) No; e) Si; f) Si; g) No; h) Si.


3º Halla la ecuación de la circunferencia con centro C(2, 0) y radio 3.
Sol: 2 2 4 5 0x y x+ − − = .


4º Halla la ecuación de la circunferencia con centro C(–2, 3) y radio 4.
Sol: 2 2( 2) ( 3) 16x y+ + − = .


5º Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(–3, 2) y radio 6.
Sol: 2 2 6 4 23 0x y x y+ + − − = .


6º Halla la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje de abscisas y cuyo centro es
el punto C(1, 2). Sol: 2 2( 1) ( 2) 4x y− + − = .


7º Halla la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje de abscisas y cuyo centro es
el punto C(2, 3). Sol: 2 2( 2) ( 3) 9x y− + − = .


8º Halla la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro tiene por extremos los puntos A(2, 2)
y B(4, –6). Sol: 2 2( 3) ( 2) 17x y− + + = .


9º Halla la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro tiene por extremos los puntos A(1, 1)
y B(3, –1). Sol: 2 2( 2) 2x y− + = .


10º Calcula m para que el radio de la circunferencia 2 2 4 4 0x y mx y+ + + + = sea 1. Sol: ±2.


11º Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3, 0), B(–3, 0) y C(0, 9).
Sol: 2 2( 4) 25x y+ − = .

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5º La policía tiene situada en una carretera rectilínea de veinte kilómetros unos seis radares
de velocidad, cada uno situado a 4 km de distancia. El problema para medir la velocidad,
reside en que los coches son alertados por un GPS de la localización de los radares, con
lo cual frenan en las proximidades del radar y no son multados. No obstante, la
colocación de los radares permite estimar mediante regresión lineal la velocidad
promedio de un conductor en dicho trayecto. Un coche multado, pasó por los radares de
la siguiente forma:

1º radar 2º radar 3º radar 4º radar 5º radar 6º radar
Recorrido (m): 0 4000 8000 12000 16000 20000

Tiempo (s): 0 95 205 315 420 560
Por cinemática sabemos que:

0( ) ·r t r v t= +
De esta forma, podemos relacionar la pendiente de la recta de regresión con la velocidad
media del vehículo. Calcule por tanto su velocidad en km/h, y estime el coeficiente de
correlación lineal. Dato: 3.6 km/h = 1 m/s. Sol: 129.3 km/h, 0.9985.


6º Un conjunto de datos bidimensionales (x, y) tiene coeficiente de correlación r = −0.9,
siendo las medias de las medias marginales 1x = , 2y = . Se sabe que una de las cuatro
ecuaciones siguientes corresponde a la recta de regresión de y frente a x:

1ª) 2y x= − + 2ª) 3 1x y− = 3ª) 2 4x y+ = 4ª) 1y x= +
Seleccionar razonadamente esta recta. Sol: Como el coeficiente es negativo no es
posible que sean ni la segunda recta ni la cuarta. Por otra parte, como la primera no
admite como solución las medias marginales y la tercera si, entonces la solución es la
tercera.


7º Las estaturas y masas de diez jugadores del Real Madrid de baloncesto son:
Alturas (cm) X 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205
Masas (kg) y 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101

Calcula:
a) Las medias y desviaciones típicas marginales.
b) La covarianza.
c) El coeficiente de correlación lineal. ¿Es buena correlación?
d) En caso de ser buena correlación, determine la recta de regresión lineal y

dibújela junto con los puntos.
Sol: a) 195x = , 92.1y = , 6.07xσ = , 6.56yσ = ; b) 37.6xyσ = ; c) r = 0.944, es buena
correlación; d) 1.02· 107.14y x= − .

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8º La ley de Ohm es una ley física que relaciona la intensidad que circula por un circuito,
con la diferencia de potencial al que está sometido. De dicha ley, surge el concepto de
resistencia eléctrica, y guarda una relación lineal de tipo:

V RI=
Se hace un experimento consistente en medir el valor de R pero variando voltaje e
intensidad, el resultado es la siguiente tabla de valores:
I (Amperios) 0.11 0.19 0.28 0.39 0.51 0.63 0.69 0.78

V (Voltios) 10 20 30 40 50 60 70 80
Mediante el coeficiente de correlación lineal, verifique si el experimento que hemos
realizado satisface la ley de Ohm o no. En caso afirmativo, determine el valor de la
resistencia del circuito (que le vendrá dado en Ohmios Ω) mediante un ajuste por
mínimos cuadrados. Realice un gráfico representando los puntos y la recta de regresión
lineal. Sol: r = 0.9974; R = 99.96 Ω; 99.96· 0.27V I= + .




9º Se ha diseñado un experimento físico con el que se pretende la medida del calor
específico del agua. Para ello se le suministra a un kilogramo de agua cantidades
conocidas de calor Q y se observa el incremento de su temperatura T∆ , obteniéndose la
siguiente tabla:

Q (Kilojulios) 4.2 8.4 12.5 16.9 20.4 25.1 29.3 33.6
T∆ (Celsius) 1 2 3 4 5 6 7 8

Mediante el coeficiente de correlación lineal, verifique si el agua cumple una ley de
calentamiento lineal como esta:

· ·eQ M c T= ∆
Donde M es la masa de agua, 1 kg, y ce es el calor específico del agua. Calcule el calor
específico del agua calculando la pendiente de la recta de regresión lineal. Represente
los puntos y recta de regresión. Sol: r = 0.9998; 4.186ec = .

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