Download Métodos matemáticos PDF

TitleMétodos matemáticos
File Size2.3 MB
Total Pages121
Table of Contents
                            Introdução
Equações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais de 1a Ordem
	Problema de Valor Inicial (P.V.I.) ou Problema de Cauchy
	Interpretação Geométrica
	Equações de Variáveis Separáveis
		Exercícios
	Equações Lineares
		Exercícios
	Equações Exatas
		Exercícios
	Fatores Integrantes
		Exercícios
	Equações Homogêneas
		Exercícios
	Equações Redutíveis a um dos Tipos Anteriores
		Exercícios
EDO's Lineares de Ordem Superior
	EDO Incompleta com Coeficientes Constantes
		Caso I: Raízes Reais
		Caso II: Raízes Reais Repetidas
		Caso III: Raízes Complexas
	EDO Completa com Coeficientes Variáveis
		Método de Variação de Parâmetros (MVP)
	Exercícios
Sistema de Equações Diferenciais Lineares
	Sistemas Homogêneos de  1ra  Ordem
		Autovalores Reais Distintos
		Autovalores Complexos
		Autovalores Repetidos
		Exercícios
	Sistemas Não Homogêneos de  1ra  Ordem
		Método de Variação de Parâmetros
	Sistemas Homogêneos de  2da  Ordem
		Aplicações à Mecânica
	Sistemas Não Homogêneos de  2da  Ordem
Transformada de Laplace
	Transformada Inversa
	Teoremas de Translação
	Derivada e Integral de uma Transformada
	Função Degrau Unitário
	Aplicação as Equações Lineares com Coeficientes Constantes
	Exercícios
Equações Diferenciais Parciais
	Séries Infinitas
		Séries de Fourier
	Equações Diferenciais em Derivadas Parciais (EDP)
	Equações Fundamentais da Física-Matemática
		Equação do Calor
		Equação de Onda ou da Corda Vibrante
		Equação de Laplace
	Exercícios

	Números Complexos
                        
Document Text Contents
Page 1

UENF
Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro

CCT-LCMAT
Laboratório de Ciências Matemáticas

Métodos Matemáticos

Liliana A. L. Mescua

Rigoberto G. S. Castro

Abril de 2015

Page 2

.

Page 60

forma matricial

MX′′ = KX.

Como o 𝑑𝑒𝑡 M = 𝑚1𝑚2𝑚3 ̸= 0, então existe M−1, logo

X′′ = M−1KX.

Chamando A = M−1K temos um sistema matricial de 2𝑑𝑎 ordem homogêneo, da forma

X′′ = AX. (4.34)

Logo, X(𝑡) = v⃗ 𝑒𝛼𝑡 é uma solução de (4.34) se e somente se

A v⃗ = 𝛼2 v⃗. (4.35)

Portanto, 𝜆 = 𝛼2 é um autovalor de A e v⃗ um autovetor associado.

Como X′′ = AX modela um sistema mecânico, é típico que os autovalores sejam números

reais negativos. Se 𝜆 = 𝛼2 < 0 ⇒ 𝛼 = ±𝑖
√︀

|𝜆|.

Portanto,

X(𝑡) = v⃗ 𝑒𝛼𝑡 = v⃗ 𝑒−𝑖


|𝜆| 𝑡 = v⃗
[︁

cos
√︀
|𝜆| 𝑡 + 𝑖 sen

√︀
|𝜆| 𝑡

]︁
(4.36)

As partes real e imaginaria são:

𝑥1(𝑡) = cos
√︀

|𝜆| 𝑡 e 𝑥2(𝑡) = sen
√︀

|𝜆| 𝑡.

Então,

X(𝑡) =
[︁
𝑐1 cos


𝜆 𝑡 + 𝑐2 sen


𝜆 𝑡
]︁
v⃗ (4.37)

Teorema 4.6. Se a matriz A ∈ ℳ𝑛𝑥𝑛 tem autovalores negativos distintos−𝑤21, −𝑤22,

. . . , −𝑤2𝑛 com autovetores associados⃗v1, v⃗2, . . . , v⃗𝑛, então a solução geral deX′′ = AX é

dada por:

X(𝑡) =
𝑛∑︁

𝑗=1

[𝑎𝑗 cos𝑤𝑗𝑡 + 𝑏𝑗 sen𝑤𝑗𝑡] v⃗𝑗 (4.38)

onde 𝑎𝑗 e 𝑏𝑗 são números reais. No caso especial que de um autovalor nulo não-repetido

𝜆0 = 0 com autovetor associado⃗v0, a parte correspondente da solução geral é:

X0(𝑡) = (𝑎0 + 𝑏0𝑡)v⃗0 (4.39)

54

Page 61

Importante

• A frequência natural interna é definida por 𝜔𝑖 =

−𝜆𝑖 ∈ R, onde 𝜆𝑖 é um autovalor

de A.

• O período é definido por 𝑃 =
2𝜋

𝜔𝑖
=

2𝜋

−𝜆𝑖

.

Exemplo 4.6. Ache a solução do sistema massa mola MX′′ = KX, quando 𝑚1 = 2, 𝑚2 =

1, 𝑘1 = 100, 𝑘2 = 50.

Como não há uma terceira mola ligada a uma parede direita, no sistema (4.33) fazemos

𝑘3 = 0. Assim,

𝑚1 𝑥
′′(𝑡) = −(𝑘1 + 𝑘2)𝑥(𝑡) + 𝑘2 𝑦(𝑡) = −150 𝑥(𝑡) + 50 𝑦(𝑡)

𝑚2 𝑦
′′(𝑡) = 𝑘2 𝑥(𝑡) − 𝑘2 𝑦(𝑡) = 50 𝑥(𝑡) − 50 𝑦(𝑡), (4.40)

ou dito de outra forma,⎡
⎣2 0

0 1


⎦X′′ =


⎣−150 50

50 −50


⎦X, onde X =


⎣𝑥
𝑦


⎦ . (4.41)

Resolvendo este sistema obtemos:

X′′ =


⎣2 0

0 1


⎦−1


⎣−150 50

50 −50


⎦X = 1

2


⎣1 0

0 2




⎣−150 50

50 −50


⎦X =


⎣−75 25

50 −50


⎦X.

Então,

X(𝑡) = v⃗ 𝑒𝛼 𝑡 onde Av⃗ = 𝛼2 v⃗.

Calculando os autovalores através do polinômio característico 𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(A − 𝜆 I) = 0,

obtemos

𝑑𝑒𝑡


⎣−75 − 𝜆 25

50 −50 − 𝜆


⎦ = 0 ⇔ 𝜆 = −100 ou 𝜆 = −25.

55

Page 120

Apêndice A

A.1 Números Complexos

Seja C = {𝑧 = 𝑎+ 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ R} o conjunto dos números complexos, onde definimos

as operações de adição e multiplicação da forma:

(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑)𝑖 (A.1)

(𝑎 + 𝑏𝑖) · (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐− 𝑏𝑑 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖. (A.2)

Dado um número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, destacamos os objetos:

1. Módulo de 𝑧: |𝑧| =

𝑎2 + 𝑏2.

2. Parte Real de 𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑎.

3. Parte Imaginária 𝑧: 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑏.

4. Conjugado de 𝑧: 𝑧 = 𝑎− 𝑏𝑖

e temos as seguintes propriedades:

𝑎)|𝑧| = |𝑧| 𝑏)|𝑧|2 = 𝑧 · 𝑧

𝑐)𝑧 + 𝑤 = 𝑧 + �̄� 𝑑)𝑧𝑤 = 𝑧 · �̄�

𝑒)𝑅𝑒(𝑧) =
1

2
(𝑧 + 𝑧) 𝑓)𝐼𝑚(𝑧) =

1

2
(𝑧 − 𝑧) (A.3)

𝑔)𝑧 = 𝑧 ⇔ 𝑧 ∈ R ℎ)1/𝑧 = 𝑧/|𝑧|2, 𝑧 ̸= 0.

Observação A.1. Como consequência destas propriedades, é fácil verificar que, se um nú-

mero complexo𝑧 é raiz de um polinômio𝑃 (𝑧) com coeficientes reais, então o conjugadō𝑧 de

𝑧 também o é. Como as raízes complexas aparecem aos pares concluímos que todo polinômio

de grau ímpar, com coeficientes reais, possui ao menos uma raiz real.

114

Page 121

Um número complexo 𝑧 = 𝑎+𝑏𝑖 também pode ser representado na forma polar,

considerando as coordenadas polares (𝑟, 𝜃) do ponto 𝑃 = (𝑎, 𝑏). Logo, temos que

𝑎 = 𝑟 cos 𝜃 e 𝑏 = 𝑟 sen 𝜃, de modo que

𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) e 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 − 𝑖 sen 𝜃)

Mais ainda, denotando por 𝑒±𝑖 𝜃 = cos 𝜃 ± 𝑖 sen 𝜃 obtemos a notação simplificada

𝑧 = 𝑟 𝑒𝑖 𝜃 e 𝑧 = 𝑟 𝑒−𝑖 𝜃

Note-se que 𝑟 = |𝑧|. Alem disso, se 𝑧1 = 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 e 𝑧2 = 𝑟2𝑒𝑖𝜃2, então 𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2𝑒𝑖(𝜃1+𝜃2)

Fórmula de De Moivre. Consideremos um número complexo 𝑧 = 𝑟 𝑒𝑖 𝜃 dado na

forma polar, e seja 𝑛 um número natural. Usando as propriedades de função

exponencial obtemos 𝑧𝑛 = 𝑟𝑛 𝑒𝑖 𝑛 𝜃, ou, de maneira equivalente:

𝑧𝑛 = 𝑟𝑛(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)𝑛 = 𝑟𝑛(cos𝑛 𝜃 + 𝑖 sen𝑛 𝜃)

de onde segue a conhecida fórmula de De Moivre:

(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)𝑛 = cos𝑛 𝜃 + 𝑖 sen𝑛 𝜃.

Raízes de um Número Complexo. Para 𝑛 ∈ N definimos as raízes n-ésimas de 𝑧

como sendo

𝑧1/𝑛 = |𝑧|1/𝑛
[︂

cos

(︂
𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛

)︂
+ 𝑖 sen

(︂
𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛

)︂]︂
, 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛− 1.

115

Similer Documents