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UENF
Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
CCT-LCMAT
Laboratório de Ciências Matemáticas
Métodos Matemáticos
Liliana A. L. Mescua
Rigoberto G. S. Castro
Abril de 2015
Page 2
.
Page 60
forma matricial
MX′′ = KX.
Como o 𝑑𝑒𝑡 M = 𝑚1𝑚2𝑚3 ̸= 0, então existe M−1, logo
X′′ = M−1KX.
Chamando A = M−1K temos um sistema matricial de 2𝑑𝑎 ordem homogêneo, da forma
X′′ = AX. (4.34)
Logo, X(𝑡) = v⃗ 𝑒𝛼𝑡 é uma solução de (4.34) se e somente se
A v⃗ = 𝛼2 v⃗. (4.35)
Portanto, 𝜆 = 𝛼2 é um autovalor de A e v⃗ um autovetor associado.
Como X′′ = AX modela um sistema mecânico, é típico que os autovalores sejam números
reais negativos. Se 𝜆 = 𝛼2 < 0 ⇒ 𝛼 = ±𝑖
√︀
|𝜆|.
Portanto,
X(𝑡) = v⃗ 𝑒𝛼𝑡 = v⃗ 𝑒−𝑖
√
|𝜆| 𝑡 = v⃗
[︁
cos
√︀
|𝜆| 𝑡 + 𝑖 sen
√︀
|𝜆| 𝑡
]︁
(4.36)
As partes real e imaginaria são:
𝑥1(𝑡) = cos
√︀
|𝜆| 𝑡 e 𝑥2(𝑡) = sen
√︀
|𝜆| 𝑡.
Então,
X(𝑡) =
[︁
𝑐1 cos
√
𝜆 𝑡 + 𝑐2 sen
√
𝜆 𝑡
]︁
v⃗ (4.37)
Teorema 4.6. Se a matriz A ∈ ℳ𝑛𝑥𝑛 tem autovalores negativos distintos−𝑤21, −𝑤22,
. . . , −𝑤2𝑛 com autovetores associados⃗v1, v⃗2, . . . , v⃗𝑛, então a solução geral deX′′ = AX é
dada por:
X(𝑡) =
𝑛∑︁
𝑗=1
[𝑎𝑗 cos𝑤𝑗𝑡 + 𝑏𝑗 sen𝑤𝑗𝑡] v⃗𝑗 (4.38)
onde 𝑎𝑗 e 𝑏𝑗 são números reais. No caso especial que de um autovalor nulo não-repetido
𝜆0 = 0 com autovetor associado⃗v0, a parte correspondente da solução geral é:
X0(𝑡) = (𝑎0 + 𝑏0𝑡)v⃗0 (4.39)
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Importante
• A frequência natural interna é definida por 𝜔𝑖 =
√
−𝜆𝑖 ∈ R, onde 𝜆𝑖 é um autovalor
de A.
• O período é definido por 𝑃 =
2𝜋
𝜔𝑖
=
2𝜋
√
−𝜆𝑖
.
Exemplo 4.6. Ache a solução do sistema massa mola MX′′ = KX, quando 𝑚1 = 2, 𝑚2 =
1, 𝑘1 = 100, 𝑘2 = 50.
Como não há uma terceira mola ligada a uma parede direita, no sistema (4.33) fazemos
𝑘3 = 0. Assim,
𝑚1 𝑥
′′(𝑡) = −(𝑘1 + 𝑘2)𝑥(𝑡) + 𝑘2 𝑦(𝑡) = −150 𝑥(𝑡) + 50 𝑦(𝑡)
𝑚2 𝑦
′′(𝑡) = 𝑘2 𝑥(𝑡) − 𝑘2 𝑦(𝑡) = 50 𝑥(𝑡) − 50 𝑦(𝑡), (4.40)
ou dito de outra forma,⎡
⎣2 0
0 1
⎤
⎦X′′ =
⎡
⎣−150 50
50 −50
⎤
⎦X, onde X =
⎡
⎣𝑥
𝑦
⎤
⎦ . (4.41)
Resolvendo este sistema obtemos:
X′′ =
⎡
⎣2 0
0 1
⎤
⎦−1
⎡
⎣−150 50
50 −50
⎤
⎦X = 1
2
⎡
⎣1 0
0 2
⎤
⎦
⎡
⎣−150 50
50 −50
⎤
⎦X =
⎡
⎣−75 25
50 −50
⎤
⎦X.
Então,
X(𝑡) = v⃗ 𝑒𝛼 𝑡 onde Av⃗ = 𝛼2 v⃗.
Calculando os autovalores através do polinômio característico 𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(A − 𝜆 I) = 0,
obtemos
𝑑𝑒𝑡
⎡
⎣−75 − 𝜆 25
50 −50 − 𝜆
⎤
⎦ = 0 ⇔ 𝜆 = −100 ou 𝜆 = −25.
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Apêndice A
A.1 Números Complexos
Seja C = {𝑧 = 𝑎+ 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ R} o conjunto dos números complexos, onde definimos
as operações de adição e multiplicação da forma:
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑)𝑖 (A.1)
(𝑎 + 𝑏𝑖) · (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐− 𝑏𝑑 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖. (A.2)
Dado um número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, destacamos os objetos:
1. Módulo de 𝑧: |𝑧| =
√
𝑎2 + 𝑏2.
2. Parte Real de 𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑎.
3. Parte Imaginária 𝑧: 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑏.
4. Conjugado de 𝑧: 𝑧 = 𝑎− 𝑏𝑖
e temos as seguintes propriedades:
𝑎)|𝑧| = |𝑧| 𝑏)|𝑧|2 = 𝑧 · 𝑧
𝑐)𝑧 + 𝑤 = 𝑧 + �̄� 𝑑)𝑧𝑤 = 𝑧 · �̄�
𝑒)𝑅𝑒(𝑧) =
1
2
(𝑧 + 𝑧) 𝑓)𝐼𝑚(𝑧) =
1
2
(𝑧 − 𝑧) (A.3)
𝑔)𝑧 = 𝑧 ⇔ 𝑧 ∈ R ℎ)1/𝑧 = 𝑧/|𝑧|2, 𝑧 ̸= 0.
Observação A.1. Como consequência destas propriedades, é fácil verificar que, se um nú-
mero complexo𝑧 é raiz de um polinômio𝑃 (𝑧) com coeficientes reais, então o conjugadō𝑧 de
𝑧 também o é. Como as raízes complexas aparecem aos pares concluímos que todo polinômio
de grau ímpar, com coeficientes reais, possui ao menos uma raiz real.
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Um número complexo 𝑧 = 𝑎+𝑏𝑖 também pode ser representado na forma polar,
considerando as coordenadas polares (𝑟, 𝜃) do ponto 𝑃 = (𝑎, 𝑏). Logo, temos que
𝑎 = 𝑟 cos 𝜃 e 𝑏 = 𝑟 sen 𝜃, de modo que
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) e 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 − 𝑖 sen 𝜃)
Mais ainda, denotando por 𝑒±𝑖 𝜃 = cos 𝜃 ± 𝑖 sen 𝜃 obtemos a notação simplificada
𝑧 = 𝑟 𝑒𝑖 𝜃 e 𝑧 = 𝑟 𝑒−𝑖 𝜃
Note-se que 𝑟 = |𝑧|. Alem disso, se 𝑧1 = 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 e 𝑧2 = 𝑟2𝑒𝑖𝜃2, então 𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2𝑒𝑖(𝜃1+𝜃2)
Fórmula de De Moivre. Consideremos um número complexo 𝑧 = 𝑟 𝑒𝑖 𝜃 dado na
forma polar, e seja 𝑛 um número natural. Usando as propriedades de função
exponencial obtemos 𝑧𝑛 = 𝑟𝑛 𝑒𝑖 𝑛 𝜃, ou, de maneira equivalente:
𝑧𝑛 = 𝑟𝑛(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)𝑛 = 𝑟𝑛(cos𝑛 𝜃 + 𝑖 sen𝑛 𝜃)
de onde segue a conhecida fórmula de De Moivre:
(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)𝑛 = cos𝑛 𝜃 + 𝑖 sen𝑛 𝜃.
Raízes de um Número Complexo. Para 𝑛 ∈ N definimos as raízes n-ésimas de 𝑧
como sendo
𝑧1/𝑛 = |𝑧|1/𝑛
[︂
cos
(︂
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
)︂
+ 𝑖 sen
(︂
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
)︂]︂
, 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛− 1.
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Métodos Matemáticos
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Rigoberto G. S. Castro
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forma matricial
MX′′ = KX.
Como o 𝑑𝑒𝑡 M = 𝑚1𝑚2𝑚3 ̸= 0, então existe M−1, logo
X′′ = M−1KX.
Chamando A = M−1K temos um sistema matricial de 2𝑑𝑎 ordem homogêneo, da forma
X′′ = AX. (4.34)
Logo, X(𝑡) = v⃗ 𝑒𝛼𝑡 é uma solução de (4.34) se e somente se
A v⃗ = 𝛼2 v⃗. (4.35)
Portanto, 𝜆 = 𝛼2 é um autovalor de A e v⃗ um autovetor associado.
Como X′′ = AX modela um sistema mecânico, é típico que os autovalores sejam números
reais negativos. Se 𝜆 = 𝛼2 < 0 ⇒ 𝛼 = ±𝑖
√︀
|𝜆|.
Portanto,
X(𝑡) = v⃗ 𝑒𝛼𝑡 = v⃗ 𝑒−𝑖
√
|𝜆| 𝑡 = v⃗
[︁
cos
√︀
|𝜆| 𝑡 + 𝑖 sen
√︀
|𝜆| 𝑡
]︁
(4.36)
As partes real e imaginaria são:
𝑥1(𝑡) = cos
√︀
|𝜆| 𝑡 e 𝑥2(𝑡) = sen
√︀
|𝜆| 𝑡.
Então,
X(𝑡) =
[︁
𝑐1 cos
√
𝜆 𝑡 + 𝑐2 sen
√
𝜆 𝑡
]︁
v⃗ (4.37)
Teorema 4.6. Se a matriz A ∈ ℳ𝑛𝑥𝑛 tem autovalores negativos distintos−𝑤21, −𝑤22,
. . . , −𝑤2𝑛 com autovetores associados⃗v1, v⃗2, . . . , v⃗𝑛, então a solução geral deX′′ = AX é
dada por:
X(𝑡) =
𝑛∑︁
𝑗=1
[𝑎𝑗 cos𝑤𝑗𝑡 + 𝑏𝑗 sen𝑤𝑗𝑡] v⃗𝑗 (4.38)
onde 𝑎𝑗 e 𝑏𝑗 são números reais. No caso especial que de um autovalor nulo não-repetido
𝜆0 = 0 com autovetor associado⃗v0, a parte correspondente da solução geral é:
X0(𝑡) = (𝑎0 + 𝑏0𝑡)v⃗0 (4.39)
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Importante
• A frequência natural interna é definida por 𝜔𝑖 =
√
−𝜆𝑖 ∈ R, onde 𝜆𝑖 é um autovalor
de A.
• O período é definido por 𝑃 =
2𝜋
𝜔𝑖
=
2𝜋
√
−𝜆𝑖
.
Exemplo 4.6. Ache a solução do sistema massa mola MX′′ = KX, quando 𝑚1 = 2, 𝑚2 =
1, 𝑘1 = 100, 𝑘2 = 50.
Como não há uma terceira mola ligada a uma parede direita, no sistema (4.33) fazemos
𝑘3 = 0. Assim,
𝑚1 𝑥
′′(𝑡) = −(𝑘1 + 𝑘2)𝑥(𝑡) + 𝑘2 𝑦(𝑡) = −150 𝑥(𝑡) + 50 𝑦(𝑡)
𝑚2 𝑦
′′(𝑡) = 𝑘2 𝑥(𝑡) − 𝑘2 𝑦(𝑡) = 50 𝑥(𝑡) − 50 𝑦(𝑡), (4.40)
ou dito de outra forma,⎡
⎣2 0
0 1
⎤
⎦X′′ =
⎡
⎣−150 50
50 −50
⎤
⎦X, onde X =
⎡
⎣𝑥
𝑦
⎤
⎦ . (4.41)
Resolvendo este sistema obtemos:
X′′ =
⎡
⎣2 0
0 1
⎤
⎦−1
⎡
⎣−150 50
50 −50
⎤
⎦X = 1
2
⎡
⎣1 0
0 2
⎤
⎦
⎡
⎣−150 50
50 −50
⎤
⎦X =
⎡
⎣−75 25
50 −50
⎤
⎦X.
Então,
X(𝑡) = v⃗ 𝑒𝛼 𝑡 onde Av⃗ = 𝛼2 v⃗.
Calculando os autovalores através do polinômio característico 𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(A − 𝜆 I) = 0,
obtemos
𝑑𝑒𝑡
⎡
⎣−75 − 𝜆 25
50 −50 − 𝜆
⎤
⎦ = 0 ⇔ 𝜆 = −100 ou 𝜆 = −25.
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Apêndice A
A.1 Números Complexos
Seja C = {𝑧 = 𝑎+ 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ R} o conjunto dos números complexos, onde definimos
as operações de adição e multiplicação da forma:
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑)𝑖 (A.1)
(𝑎 + 𝑏𝑖) · (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐− 𝑏𝑑 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖. (A.2)
Dado um número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, destacamos os objetos:
1. Módulo de 𝑧: |𝑧| =
√
𝑎2 + 𝑏2.
2. Parte Real de 𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑎.
3. Parte Imaginária 𝑧: 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑏.
4. Conjugado de 𝑧: 𝑧 = 𝑎− 𝑏𝑖
e temos as seguintes propriedades:
𝑎)|𝑧| = |𝑧| 𝑏)|𝑧|2 = 𝑧 · 𝑧
𝑐)𝑧 + 𝑤 = 𝑧 + �̄� 𝑑)𝑧𝑤 = 𝑧 · �̄�
𝑒)𝑅𝑒(𝑧) =
1
2
(𝑧 + 𝑧) 𝑓)𝐼𝑚(𝑧) =
1
2
(𝑧 − 𝑧) (A.3)
𝑔)𝑧 = 𝑧 ⇔ 𝑧 ∈ R ℎ)1/𝑧 = 𝑧/|𝑧|2, 𝑧 ̸= 0.
Observação A.1. Como consequência destas propriedades, é fácil verificar que, se um nú-
mero complexo𝑧 é raiz de um polinômio𝑃 (𝑧) com coeficientes reais, então o conjugadō𝑧 de
𝑧 também o é. Como as raízes complexas aparecem aos pares concluímos que todo polinômio
de grau ímpar, com coeficientes reais, possui ao menos uma raiz real.
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Um número complexo 𝑧 = 𝑎+𝑏𝑖 também pode ser representado na forma polar,
considerando as coordenadas polares (𝑟, 𝜃) do ponto 𝑃 = (𝑎, 𝑏). Logo, temos que
𝑎 = 𝑟 cos 𝜃 e 𝑏 = 𝑟 sen 𝜃, de modo que
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) e 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 − 𝑖 sen 𝜃)
Mais ainda, denotando por 𝑒±𝑖 𝜃 = cos 𝜃 ± 𝑖 sen 𝜃 obtemos a notação simplificada
𝑧 = 𝑟 𝑒𝑖 𝜃 e 𝑧 = 𝑟 𝑒−𝑖 𝜃
Note-se que 𝑟 = |𝑧|. Alem disso, se 𝑧1 = 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 e 𝑧2 = 𝑟2𝑒𝑖𝜃2, então 𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2𝑒𝑖(𝜃1+𝜃2)
Fórmula de De Moivre. Consideremos um número complexo 𝑧 = 𝑟 𝑒𝑖 𝜃 dado na
forma polar, e seja 𝑛 um número natural. Usando as propriedades de função
exponencial obtemos 𝑧𝑛 = 𝑟𝑛 𝑒𝑖 𝑛 𝜃, ou, de maneira equivalente:
𝑧𝑛 = 𝑟𝑛(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)𝑛 = 𝑟𝑛(cos𝑛 𝜃 + 𝑖 sen𝑛 𝜃)
de onde segue a conhecida fórmula de De Moivre:
(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)𝑛 = cos𝑛 𝜃 + 𝑖 sen𝑛 𝜃.
Raízes de um Número Complexo. Para 𝑛 ∈ N definimos as raízes n-ésimas de 𝑧
como sendo
𝑧1/𝑛 = |𝑧|1/𝑛
[︂
cos
(︂
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
)︂
+ 𝑖 sen
(︂
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
)︂]︂
, 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛− 1.
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