Download Persamaan Dan Fungsi Kuadrat PDF

TitlePersamaan Dan Fungsi Kuadrat
File Size139.1 KB
Total Pages17
Document Text Contents
Page 1

106

BAB VIII
PERSAMAAN dan FUNGSI KUADRAT



8. 1 Persamaan kuadrat

8.1. 1. Akar dan sifat akar.

Bentuk umum persamaan dibawah ini disebut persamaan kuadrat.




Penyelesaian suatu persamaan disebut juga dengan akar. Ada 3 cara mencari akar
persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, dengan melengkapi kuadrat dan
dengan rumus a b c. Persisnya cara rumus adalah …







Sebagai akibat rumus diatas, kita peroleh sifat jumlah dan kali akar-akar x1 dan x2 dari
persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0



Beberapa bentuk rumus yang dinyatakan dengan sifat diatas

1. Jumlah kuadrat akar-akar x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1 x2
2. Jumlah pangkat tiga akar-akar x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1 x2 (x1 + x2)
3. kuadrat selisih akar-akar (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1 x2

(x1 x2)2 = 2a
D

4. selisih kuadrat akar-akar x12 x22 = (x1 + x2) (x1 x2)
5. Jumlah kebalikan akar-akar

1x
1 +

2x
1 =

21

21
x x
xx

Contoh
1. Himpunan penyelesaian dari (2x2 + x) (2x2 + x – 4) + 3 = 0 adalah …

(A) {1, 3} (B) {–
2
3 , 1, 3} (C) {–1,

2
1 } (D) {–

2
3 , 1} (E) {–

2
3 , –1,

2
1 , 1}

Jawab: E
Misalkan p = 2x2 + x p (p 4) + 3 = 0 p2 4p + 3 = 0 (p 3)(p 1 ) = 0

(2x2 + x 3) (2x2 + x 1) = 0
(2x + 3)(x 1) (2x 1)(x + 1) = 0
x =

2
3 atau x = 1 atau x =

2
1 atau x = 1







a x2 + bx + c = 0 dengan a, b, c real dan a 0

x1 dan x2 akar ax
2 + bx + c = 0

D = b2 4ac
D disebut diskriminan

x1,2 = a2
D b

Sifat jumlah x1 + x2 = a
b Sifat kali akar x1 x2 = a

c

Page 2

107

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

2. Persamaan kuadrat 6x2 – (k + 4) x + k + 3 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2.
Jika 6 x1 + 5 x2 = 1 maka k = …
(A) –14 (B) –8 (C) –3 (D) 1 (E) 5
Jawab : C

6 x1 + 5 x2 = 1 6 (x1 + x2) x2 = 1 6 6
4k

x2 = 1 x2 = k + 3

Karena x2 = k + 3 akar persamaan, maka
6(k+3)2 – (k + 4)(k+3) + k + 3 = 0
(k+3) [ 6 (k + 3) (k + 4) + 1 ] = 0
(k +3) (5k + 15) = 0

Kedua bentuk faktor ini menghasilkan k = 3

3. Selisih kuadrat akar-akar x2 + 3x + p = 0 adalah 6. maka p =…

(A) 4
1 (B) 2

1 (C) 5 atau 15 (D) 4
5

Jawab: D
x12 x22 = 6 (x1 + x2) (x1 x2) = 6 3 (x1 x2) = 6 x1 x2 = 2

(x1 x2)2 = 4 (x1 + x2)2 4 x1 x2 = 4 ( 3)2 4p = 4 p = 4
5



4. Kuadrat selisih dan jumlah kuadrat akar-akar x2 + ax + b = 0 berturut-turut adalah

3 dan 11, maka b = ….
(A) –3 (B) –2 (C) –1 (D) 1 (E) 2
Jawab: A
(x1 x2)2 = 3 (x1 + x2)2 4x1 x2 = 3 a2 4b = 3
x12 + x22 = 11 (x1 + x2)2 2x1 x2 = 11 a2 2b = 11

2b = 8 b = 4

5. x2 + x + 1 = 0 akar p dan q, maka p33 + q33 = …

(A) –3 (B) –2 (C) –1 (D) 1 (E) 2
Jawab: E
Dari x2 + x + 1 = 0 kali x x3 + x2 + x = 0 x3 + (x2 + x + 1) 1 = 0

x3 + 0 1 = 0 x3 = 1 x33 = (x3)11 = 1
Karena p & q akar (jawaban x) p33 = 1 & q33 = 1 p33 + q33 = 2



8.1.2. Jenis akar


1. Jenis akar dibawah ini mudah sekali kita hafalkan dengan memperhatikan
rumus dari akar itu sendiri.












x1,2 = a2
Db



D < 0
Kedua akar tidak real

D > 0
Kedua akar real

berbeda

D 0
Kedua akar real

D = 0
Akar kembar

Page 8

113

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

3. Akar-akar persamaan x2 + (m+ 2)x (m + 3) = 0 adalah dan . Harga ekstrim
dari 2 + 2 + adalah …
(A) 24 (B) 8 (C) 2 (D) 12 (E) 21
Jawab : A

2 + 2 + = [ ( + )2 2 ] + = ( + )2
2 + 2 + =(m + 2)2 + 4 ( m + 3)
2 + 2 + =m2 + 8 m 8

Tulis Z = 2 + 2 + Z = m2 + 8 m 8
Harga ekstrim 2 + 2 + = Zmin= a4

D = 24


4. Persamaan kurva disamping adalah y = c x2 bx + a. Maka …

(A) a c < 0 (D) b c > 0
(B) b2 > 4 a c (E) b2 < 4 a c
(C) a b < 0
Jawab : D
Memotong sumbu x di dua titik D = ( b)2 4 ( c) (a) > 0

b2 > 4 a c ……….. (1)
Membuka kebawah c < 0 c > 0 ………... (2)
Memotong sumbu-y pada (0,a) diatas sumbu x a > 0 ………… (3)
Puncak dikanan sumbu y xp < 0 )c( 2

b < 0
c 2

b > 0

Karena 2 c > 0 , maka b > 0 …….. (4)
Dari (1), (2), (3) dan (4) diperoleh jawaban yang benar (D) b c > 0



8.2.3. Menentukan Fungsi kuadrat







Contoh :
1. Disamping ini adalah grafik parabola f(x). Nilai f(4) = …

Jawab
Puncak (2, 3) f(x) = a(x 2)2 3
Melalui (0,9) 9 = 4a 3 a = 3
Dengan demikian f(x) = 3 (x 2)2 3 f(4) = 9


2. Disamping ini adalah grafik parabola f(x).

Titik potong dengan sumbu y adalah

Jawab
Memotong sumbu x di (1,0) dan (4,0)

f(x) = a (x 1) (x 4)
Melalui (5, 2) 2 = a (4) (1) a =

2
1

Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai …
1. f(x) = a ( x x1 ) (x x2 )

dimana (x1,0) dan (x2,0) titik potong dengan sumbu-x
2. f(x) = a (x xp)2 + yp

dimana (xp,yp) adalah titik puncak para bola

(2, 3)

9

1 4
(5, 2

y

x

Page 9

114

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

3. Diketahui f dan g dengan f(x) = 2x2 + x 5.
Apabila g melalui titik (1,10), maka g akan
memotong sumbu-y pada ordinat …
(A) 25 (B) 10 (C) 3 (D) 10 (E) 25


Jawab
Misalkan x = x1 dan x = x2 titik potong f(x) dan g(x) dengan sumbu x.
Maka

)x(f
)x(g =

)xx( )xx( a
)xx( ) x(x a

212

211 =
2

1
a
a = k g(x) = k f(x) ……….. (1)

g(1) = k f(1)
10 = k ( 2)
k = 5 …………. (2)

Dari (1) dan (2) g (x) = 10 x2 5x + 25
g memotong sumbu y pada (0,25) ordinatnya 25




8.2.4. Parabola dan Garis Lurus

Beberapa masalah mengenai hubungan parabola dan garis lurus dapat kita rumuskan
Sebagai berikut

1. Diberikan parabola g : y = ax2 + bx + c
Garis f : y = mx + n

Dari kedua persamaan ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b m)x + c n = 0

Tulis Ds = (b m)2 4 a (c n )
[ Ds adalah diskriminan ax2 + (b m)x + c n = 0, dengan kata lain Ds

adalah diskriminan dari hasil subtitusi g dan f ]
Memperhatikan jenis akar (penyelesaian) ax2 + (b m)x + c n = 0, mudah
bagi kita untuk membuat kesimpulan …

1.1 Ds > 0 g dan f berpotongan di dua titik berbeda
1.2 Ds = 0 g dan f berpotongan di satu titik (baca: bersinggungan)
1.3 Ds < 0 g dan f tidak berpotongan.

2. Diberikan parabola g : y = ax2 + bx + c

Garis f : y = mx + n

g f : y = ax2 + (b m) x + c n



















Parabola g diatas garis f seluruhnya
g(x) f(x) > 0 untuk setiap x
ax2 + (b m) x + c n > 0

untuk setiap x

a > 0 dan Dg f = (b m)
2 4a (c n) < 0

g

f

Parabola g dibawah garis f seluruhnya
g(x) f(x) < 0 untuk setiap x
ax2 + (b m) x + c n < 0

untuk setiap x

a < 0 dan Dg f = (b m)
2 4a (c n) < 0 g

f

Page 16

121

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Jawab : E
Garis g bergradien m melalui titik T(1,3) : y 3 = m (x 1)

y = mx + 3 m ………(1)
Parabola y = x2 ……………………………(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh mx m + 3 = x2 x2 + mx m + 3 = 0
syarat memotong di dua titik D > 0 : m2 4( m + 3) > 0

m2 + 4m 12 > 0
(m+ 6)(m 2)> 0
m < 6 m > 2


15. Diketahui persamaan 2x2 4x + a = 0 dengan a bilangan real. Supaya didapat dua

akar berlainan positif maka haruslah …
a. a > 0 b a < 2 c. 0 < a < 2 d. o < a < 4 e. 2 a < 4

(Matematika ’97 Rayon C)
Jawab : C
Syarat dua akar berlainan positif :

1. D > 0 16 4 . 2 . a > 0 a < 2
2. x1 + x2 > 0 2 > 0 (memenuhi)
3. x1 x2 > 0 2

a > 0 a > 0

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh 0 < a < 2
16. Jika dan merupakan akar-akar real persamaan x2 + x =

1xx
2

2 maka nilai

adalah …
a. 2 atau 1 b. 2 atau 1 c. 2 atau 1 d. 2 e. 1

(Matematika ’98 Rayon A)
Jawab : E
Misalkan p = x2 + x p =

1p
2 p2 + p = 2 p2 + p 2 = 0

(p + 2)(p 1) = 0 (x2 + x + 2)(x2 + x 1) = 0
x2 + x + 2 = 0 atau x2 + x 1 = 0

Perhatikan x2 + x + 2 = 0 mempunyai akar-akar tidak real (karena D < 0)
x2 + x 1 = 0 mempunyai akar-akar real (karena D > 0)
Dengan demikian dan akar dari x2 + x 1 = 0. Jadi = 1


17. Akar-akar persamaan kuadrat (p 2)x2 + 4x + (p + 2) = 0 adalah dan .
Jika 2 + 2 = 20, maka p = ….
(A) 3 atau

5
6 (C) 3 atau

6
5 (E) 3 atau

5
6

(B) 3 atau
6
5 (D) 3 atau

6
5

(Matematika ’99 Rayon A)
Jawab : E

2 + 2 = 20 ( + ) = 20


2 p
2 p

2p
4 = 20

p + 2 = 5 (p 2)2
p + 2 = 5 p2 20 p + 20
5p2 21p + 18 = 0 ( 5p 6 ) ( p 3 ) = 0
p =

5
6 atau p = 3

+ +
6 2

Page 17

122

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

18. Garis y = x 3 menyinggung parabola y2 2y + px = 15. Absis puncak
parabola tersebut adalah …
(A) 4 (B) 2 (C) 1 (D) 1 (E) 2

(Matematika ’99 Rayon B)
Jawab : B
Subtitusi : ( x 3)2 2 ( x 3) + px = 15

x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + px 15 = 0
x2 + ( 8 + p ) x = 0

Bersinggungan Ds = 0 ( 8 + p )2 4 . 1. 0 = 0 p = 8
Parabola:
y2 2y 8x = 15

y2 2y + 1 = 8x + 16
(y 1)2 = 8 (x + 2)
x =

8
1 (y 1)2 2

puncak: ( 2, 1)
Absis titik puncak adalah 2


19. Jika x1 dan x2 akar persamaan kuadrat 2x2 (2k 1)x + 2k2 4 maka nilai

terbesar x12 + x22 adalah …
(A)

2
3 (B) 2 (C)

2
9 (D) 5 (E) 6

(Matematika ’99 Rayon C)
Jawab : C
2x2 (2k 1)x + 2k2 4 = 0
Z = x12 + x22

= (x1 + x2)2 2(x1 . x2)
= (

2
1k2 )2 2 .

2
4 k2 2

=
4

1k4k4 2 2k2 + 4

= k2 k +
4

17



















x = f(y) = ay2 + by + c
x = a (y yp)

2 + xp
puncak (xp, yp)

a > 0 buka kanan
a < 0 buka kiri

y = f(x) = ax2 + bx + c
y = a (x xp)

2 + yp
puncak (xp,yp)

a > 0 buka atas
a < 0 buka bawah

Fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c.
Dengan a, b dan c konstanta
Untuk a > 0 yminimum = a4

D

Untuk a < 0 ymaximum = a4
D

Zmax = 1)( 4
4

17 )1( 4 )1( 2


=
4

18 =
2
9

Similer Documents