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TitleSoluciones_optimización
TagsTriangle Mathematical Optimization Kilogram Euro Geometric Shapes
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Problemas de optimización 1

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN

Ejercicio 1

Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en euros,
viene dada en función de la cantidad invertida, x en euros, por medio de la expresión:

3,5 0,4x 0,001x- R(x) 2 ++=

Deducir qué cantidad de dinero convendrá invertir en dicho plan.

¿Qué rentabilidad se obtuvo en el caso anterior?

Solución:

Obviamente, convendrá invertir la cantidad que mayor rentabilidad produzca:

0,4 0,002x- (x)'R +=

200
0,002

0,4
x00,4 0,002x- 0 (x)'R ==⇒=+⇒=

00,002- (x)''R <= , por tanto 200x = € es un máximo de la función R(x)

La rentabilidad que se obtiene es 5433,5 2000,4 0,001(200)- R(200) 2 ,=+⋅+= €



Ejercicio 2

Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un círculo de
radio ½

Solución:

Sean x e y las dimensiones del rectángulo.

El área es yxA ⋅=

Además, x e y son los catetos de un triángulo
rectángulo de hipotenusa 1:

222 x1y1yx −=⇒=+ sustituyendo en A:

422 xxx1xxf −=−⋅=)(

Por tanto, debemos maximizar esta función:

( )
2

2

2

2

42

3

x1

x21

x1x2

x21x2

xx2

x4x2
xf




=

−⋅

−⋅
=

−⋅


=)('



2

2

2

1
x0x210

x1

x21
0xf 2

2

2

±=±=⇒=−⇒=



⇒=)('



De los dos valores obtenidos, descartamos el negativo por no tener sentido en este
problema.

Comprobemos si
2

2
x = es máximo:

Page 2

Problemas de optimización 2

( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )

( )32
3

22

33

22

22

2

2

22

2

2

2
2

2

2

22

x1

x3x2

x1x1

x2xx4x4

x1x1

x21xx1x4

x1

x1

x21xx21x4

x1

x1

x21x
x1x4

x1

x12

x2
x21x1x4

xf




=

=
−⋅−

−++−
=

−⋅−

−⋅+−⋅−
=




−⋅+−⋅−

=

=




−⋅
⋅+−⋅−

=


−⋅


⋅−−−⋅−

=)(''

2

2
0

2

1

2

23

2

2

4

2
1

2

2
3

8

22
2

2

2
1

2

2
3

2

2
2

2

2
f

3332

3

⇒<











=
















−













=


















































=










'' es máximo

En cuyo caso,
2

2

2

1

2

1
1

4

2
1

2

2
1x1y

2
2 ==−=−=











−=−=

Las dimensiones se corresponden con un CUADRADO de lado
2

2




Ejercicio 3

Los costes de fabricación, C(x) en euros, de cierta variedad de salchichas, dependen
de la cantidad elaborada (x en kilos) de acuerdo con la siguiente expresión:

2x 10 C(x) +=

El fabricante estima que el precio de venta en euros de cada kilogramo de salchichas
viene dado por:

800

x6
- 20 P(x)

2

=


Obtener la función de ganancias

¿Qué cantidad de salchichas interesa producir para maximizar ganancias?

Calcular en este caso, el precio de venta y la ganancia que se obtiene.

Solución:

Sea x el número de kilogramos de salchichas a fabricar

El precio de venta de un kilogramo de salchichas es
800

x6
20xP

2

−=)(

En total obtendremos por la venta de x kilogramos:
800

x6
x20xPx

3

−=⋅ )(

La función de ganancias es:

( ) 10x18
800

x6
x210

800

x6
x20xCxPxxG

33

−+−=+−













−=−⋅= )()()(

Page 8

Problemas de optimización 8

Dar la expresión que nos proporciona los ingresos diarios (I) de esa compañía en
función del precio del billete.

¿Qué ingreso diario se obtiene si el precio del billete es 15 euros?

¿Cuál es el precio del billete que hace máximo los ingresos diarios?

¿Cuáles son esos ingresos máximos?

Solución:

p6300pN −=)( es el número de viajeros según el precio del billete, p.

a) Por tanto la función que nos proporciona los ingresos en función del precio del
billete será el producto del número de viajeros por el precio que paga cada uno:

2p6p300ppNpf −=⋅= )()(

b) ( ) 31501561530015f 2 =−⋅=)( € ingreso diario para un billete de 15€

c) p12300pf −=)('

25
12

300
p0p123000pf ==⇒=−⇒=)(' €

012pf <−=)('' , por tanto, 25p = € es máximo

d) ( ) 37502562530025f 2 =−⋅=)( € ingresos máximos.



Ejercicio 11

Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos materiales distintos. Los dos
materiales tienen precios respectivamente de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado.
¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea
mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha
de ser de un metro?

Solución:

Sean “x” e “y” los lados (en cm.) de los
dos cuadrados respectivamente.

Si la suma de perímetros es 1 metro:

x25y100y4x4 −=⇒=+

La función de costes es:

( ) 1875150x-x53x150x-1875x2x253x2y3x2C 2222222 +=++=−⋅+=+=
1875150x-x5xC 2 +=)(

150-x10xC =)(' ; 15
10

150
x0150-x100xC ==⇒=⇒=)('

001xC >=)('' ; por tanto 15x = es mínimo

Los cuadrados deben medir de lados, respectivamente:

15x = cm

101525y =−= cm

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Problemas de optimización 9

Ejercicio 12

Descomponer el número 81 en dos sumandos de forma que el producto del primer
sumando por el cuadrado del segundo sea máximo.

Solución:

Sean “x” e “y” ambos sumandos:

y81x81yx −=⇒=+

( ) 3222 yy81yy81yxyP −=⋅−=⋅=)(

2y3y162yP −=)('

( )








=

=
⇒=−⋅⇒=−⇒=

54y

0y

0y54y30y3y1620yP 2)('

y6162yP −=)('' ;

0-16254616254P <=⋅−=)('' ; 54y = es máximo

0162061620P >+=⋅−=)('' ; 0y = es mínimo

Los sumando son 54y = , 275481x =−=



Ejercicio 13

Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera
que la portería tenga la máxima superficie interior posible.

a) ¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero?

b) ¿Qué superficie máxima interior tiene la portería?

Solución:

Perímetro de la portería:

y210x10y2x −=⇒=+

La superficie encerrada:

( ) 2y2y10yy210yxyS −=⋅−=⋅=)(

y410yS −=)('

52
4

10
y0y4100yS ,)(' ==⇒=−⇒=

04yS <−=)('' ; 52y ,= es un máximo

Los postes deben medir cada uno 52y ,= m

El larguero deberá medir 552210x =⋅−= , m

La superficie encerrada será ( ) 512522521052S 2 ,,,),( =−⋅= m2

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Problemas de optimización 15

siendo x el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad.

Determinar:

El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.

El número máximo de personas afectadas.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.

Justificar las respuestas.

Solución:

A ) La enfermedad desaparece cuando no hay ningún enfermo:

( )













−=
+−

=

=
−−

=

=
±−

=
±−

=
+±−

=

=


⋅−⋅−±−
=⇒=++−⇒=

3
6-

0972
x

27
6-

0972
x

6-

0972

6-

810072

6-

2916518472

6

243347272
x0243x72x30xf

2

1

2
2)(



Obviamente, no tiene sentido que hayan transcurrido -3 días

Por tanto, han de transcurrir 27 días para que desaparezca la enfermedad.

B ) 72x6xf +−=)('

12
6

72
x072x60xf 0 ==⇒=+−⇒=)('

06xf <−=)('' ; 12x0 = es un máximo

El número máximo de personas enfermas se da a los 12 días, y el número máximo de
personas enfermas es:

675243127212312f 2 =+⋅+⋅−=)( personas enfermas

C ) La función f(x) es una parábola con coeficiente principal negativo, esto es, con

la ramas hacia abajo y un máximo en su vértice:

La enfermedad crecerá entre los días ( )120, y decrecerá entre los días ( )2712,





Ejercicio 21

Determinar la mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado
mayor mida 1 metro.

Solución:

EL lado mayor es la hipotenusa:

Sean “x” e “y” los catetos del triángulo:

222 x1y1yx −=⇒=+

El área es 2x1x
2

1
yx

2

1
S −⋅⋅=⋅⋅=

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Problemas de optimización 16

La función a maximizar es 2x1x
2

1
xf −⋅







 ⋅=)(

2

2

2

22

2

2
2

2

2

x12

x21

x1

xx1

2

1

x1

x

2

1
x1

2

1

x12

x2
x

2

1
x1

2

1
xf

−⋅


=



−−
⋅=

=


⋅−−⋅=
−⋅


⋅⋅+−⋅=)('





2

2

2

1
x0x21

0
x12

x21
0xf

2

2

2

±=±=⇒=−⇒

⇒=
−⋅


⇒=)('



( )

( ) ( )
( ) ( )

( )

( ) ( ) 22
3

22

33

22

22

2

2

2

2

2

2

2

22

x1x1

x3x2

2

1

x1x1

x2xx4x4

2

1

x1x1

x21xx1x4

2

1

x1

x1

x21x

x1

x1x4

2

1

x1

x12

x2
x21x1x4

2

1
xf

−⋅−


⋅=

−⋅−

−++−
⋅=

=
−⋅−

−⋅+−⋅−
⋅=




−⋅
+



−⋅−

⋅=

=





−−−⋅−

⋅=)(''





0

2

1

2

1

2

2

1

4

2
1

4

2
1

2

23

8

22
2

2

1

2

2
1

2

2
1

2

2
3

2

2
2

2

1

2

2
f

22

3

<



⋅=

=
−⋅







 −








⋅=











−⋅





































⋅−













⋅=










''



2

2
x = es un máximo

Los catetos del triángulo son:


2

2
x =

2

2

2

1

4

2
1

2

2
1x1y

2
2 ==−=











−=−=

que es un triángulo rectángulo isósceles.

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