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TagsIntegral Sequence Mathematical Objects Mathematical Concepts
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Page 1

Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

58


















































5

5.1 SUCESIONES
5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
5.3 SERIES NUMÉRICAS INFINITAS

5.3.1 LA SERIE GEOMÉTRICA.
5.3.2 SERIES TELESCÓPICA
5.3.3 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS

5.3.3.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL
5.4 SERIES ALTERNANTES
5.5 SERIES DE POTENCIAS

5.5.1 SERIE DE TAYLOR
5.5.2 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE

POTENCIAS.

Objetivos:
Se pretende que el estudiante:

• Determine convergencia o divergencia de sucesiones.
• Conozca las propiedades de la notación sigma.
• Determine convergencia o divergencia de series

geométricas, Telescópicas, y series de términos positivos
aplicando el criterio de la integral.

• Determine series de potencias para funciones, aplicando
Taylor.

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5.1 SUCESIONES

5.1.1 DEFINICIÓN.

Sucesión es una función, denotada como
{ }na , cuyo dominio es el conjunto de los
números enteros positivos y su rango son
números reales. Es decir:


nanfn

IRXIN
=


)(





Es común referirse al rango de la sucesión, por tanto la sucesión se presenta

como una secuencia de términos { },,, ,321 aaa . Si la sucesión tiene una cantidad
determinada de términos se la llamará SUCESIÓN FINITA. Si la sucesión tiene

una cantidad no definida de términos, se la llamará SUCESIÓN INFINITA.


Ejemplo

{ }








+
=









+
= ,

12
,,

7
3

,
5
2

,
3
1

12 n
n

n
n

an

La manera como se presentó la sucesión en el ejemplo anterior se denomina
forma explícita, pero se la puede expresar como una formula de recursión.

Ejemplo

2;3;1 11 ≥+== − naaa nn

Es decir:

431312 =+=+= aa

734323 =+=+= aa

Y así sucesivamente.

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5.3.7 TEOREMA DE LA SERIE DIVERGENTE

Si ∑ na diverge y C es una constate
diferente de cero, entonces la serie ∑ naC
también diverge.



Ejercicios Propuestos 5.2

1. Encuentre nS y determine si las series son convergentes o divergentes. Si es convergente
determine su suma:

a)
( )∑

+∞

=
+

1
1

1

n
nn

b)

n

n

+∞

=









1
2
5



c)
( )( )∑

+∞

=
+−

1
2313

1

n
nn

d) ∑
+∞

=









+

1
3
4

2
1

n

nn


e)
( )( )∑

+∞

=
++

1
32

1

n
nn



2. Sin hallar nS , determine si las series son convergentes o divergentes.

a)
1

2
5

n

n

+∞

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ b)

1

3 1
2 3

n

n
n

+∞

=


+∑

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5.3.8 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS

5.3.8.1 TEOREMA

Una serie na de términos no negativos

converge si y sólo si, sus sumas parciales
están acotadas por arriba.



5.3.8.2 CRITERIOS PARA ESTABLECER LA CONVERGENCIA
DE SERIES POSITIVAS.

5.3.8.2.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea f una función continua positiva, no
creciente, definida en el intervalo ,1 y
suponga que nfan para todo entero

positivo n . Entonces la seria
1n

na converge

si y sólo si la integral impropia
1

)( dxxf

converge.


Ejemplo 1

Determine si la SERIE ARMÓNICA
1

1

n
n

converge o diverge

SOLUCIÓN:
Aplicando el criterio de la integral, debido a que es una serie de términos positivos decrecientes.

Nlímxlím
x

lím
x n

N

n

N

n
lnln

11
1

11



Por tanto la serie diverge.

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5.5.2 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE
POTENCIAS.

Una serie de potencia se puede derivar o integrar término a término de tal
manera que se tendrá otra serie de potencia con el mismo radio de convergencia,
aunque no necesariamente el mismo intervalo de convergencia.

Ejemplo 1

Obtener la serie de xxf cos)( a partir de la serie del seno.
SOLUCIÓN:
La serie del seno es:



0

12

!12
1

n

nn

n
x

senx

Derivándola se tiene:

0

2

0

112

0

12

!2
1

!212
121

!12
1

cos
n

nn

n

nn

n

nn

xx
n
x

nn
xn

n
x

DsenxDx





Ejemplo 2.

a) Encuentre una serie de potencia para
x

xf
1

1
)(

La expresión anterior puede ser observada como la suma de un serie geométrica infinita con primer
término igual a 1 y razón xr entonces:


11

1
1

1
)(

n

nn

n

n xx
x

xf

b) Emplee la serie anterior para obtener la serie de 1ln)( xxf

Integrando
0

1

1
1

11
1

1
1ln)(

n

n
n

n

nn

n
x

xdx
x

xxf

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Ejercicios Propuestos. 5.4

1. Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para xxf ln)(
alrededor de 10x .

2. Encuentre el desarrollo en series de potencias de x

a. )1ln()( xxf

b. dxexf x
2

)(

c. )1ln()( 2 xxxf

d. dx
x

senx
xf )(



e.
21

)(
x

x
xf

f. 23 cos)( xxxf

g.
2

)(
xx ee

xf



3. Calcular usando series de potencias:

a. dxe x
1

0

2


b. dxsenxex
2

0





c. dxxsen
2

1

0





4. Considere la función
2

)( xxexf . Determine una representación para f en series de
potencia de x .

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