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TitleTous Exercices d'Analyse Pour SM by Ali Tah
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SUITES NUMERIQUES.pdf
dérivée et T.A.F.pdf
                        
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Exercices de Mathématiques

Table des matières

1 Limites et continuité 3
1.1 limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 utilisation de la définition de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 calcul des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Image d’un intervalle - T.V.I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 fonction réciproque d’une fonction continue et stictement monotone . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 theorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 fonction arctan et n√ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . 2007/2008 1

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Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . 2007/2008

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CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES

– soit vn =
un − 2
un + 1

montrer que la suite(vn) est une suite géométrique

– déduire la limite de la suite (un)

2. si l’équationf (x) = x admet une unique solution α

exemple


 un+1 =

4un − 1
un + 2

u0 = 3

– illustrer graphiquement le comportement de la suite , préciser α

– soit vn =
1

un − α
montrer que la suite(vn) est une suite arithmétique

– déduire la limite de la suite (un)

3. si l’équationf (x) = x n’admet pas de solution
que peut on conclure pour la suite (un)

2.7.3 cas d’une fonction croissante

Exercise 46 soit f la la fonction définie sur R+ par f (x) = 3


1 + 1
2
x3

1. donner l’image des intervalles I =
[

3


2, +∞
[

et J=
[
0,

3


2
]

2. etudier le signe de f(x)− x

3. soit (un) la suite définie
{

un+1 = f (un)
u0 ∈ R+

(a) montrer que ∀n ∈ N : un ∈ R+

(b) déterminer la valeur de u0 pour que la suite soit constante

(c) étudier la monotonie de (un) discuter suivant la valeur de u0
(d) montrer que pour toute valeur de u0 la suivante est cxonvergente

(e) soit (vn) la suite définie par vn = u3n−2 montrer que est une suite géométrique et calculer
la limite de un

Exercise 47 soit (un) la suite définie
{

un+1 = 4
3


un − 1 + 1
u0 = 1 + 2


2

1. montrer que ∀n ∈ N : 1 < un < 9
2. étudier la monotonie de la suite (un) en déduire qu’elle est convergente

3. montrer que ∀n ∈ N : 0 < 9− un <
2

3
(9− un) déduire la limite de (un)

Exercise 48 soit (un) la suite définie


 un+1 =

9un
6 + u3n

u0 = 1

1. soit f la fonction definie f (x) =
9x

6 + x3

(a) donner le sens de variation de f sur R+ et montrer que f
([

0,
3


3
])


[
0,

3


3
]

22 Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc

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2.7. SUITE DÉFINIE PAR RÉCURRENCE DE TYPE UN+1 = F (UN)

(b) résoudre dans R+l’équation f(x) = x

2. à l’aide de f montrer que ∀n ∈ N : 0 ≤ un ≤
3


3

3. justifier que (un) est croissante

4. montrer que (un) est convergente et donner sa limite

Exercise 49 soit (un) la suite définie


 un+1 =

1

3

(
2un +

2

u2n

)
u0 = 2

1. montrer que ∀n ∈ N : 3


2 < un

2. étudier la monotonie de la suite (un)

3. déduire qu’elle est convergente et donner sa limite

Exercise 50 soit (un) la suite définie


 un+1 =

u3n + 6un
2 + 3u2n

u0 ∈ R+

1. déterminer u0 pour que la suite (un) soit constante

2. on suppose que u0 ∈
]
0,


2
[

(a) montrer que ∀n ∈ N : 0 < un <


2

(b) étudier la monotonie de la suite de la suite (un) en déduire qu’elle est convergente et
donner sa limite

3. on suppose que u0 ∈
]√

2, +∞
[

(a) montrer que ∀n ∈ N :


2 < un

(b) étudier la monotonie de la suite de la suite (un) en déduire qu’elle est convergente et
donner sa limite

4. montrer quelque soit la valeur de u0 la suite est convergente

Exercise 51 soit f la fonction définie sur R+ par f (x) = 2. arctan
(

2


x

1 + x

)
1. étudier les variations de f

2. justifier que f ([1, 2]) ⊂ [1, 2] et montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution
α ∈ [1, 2]

3. soit (un) la suite définie
{

un+1 = f (un)
u0 = 1

(a) montrer que ∀n ∈ N : 1 ≤ un ≤ 2

(b) à l’aide du théorème des acroissement finis montrer ∀n ∈ N : |un+1 − α| ≤
1

4
. |un − α|

(c) déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite

Kharbat Khalid .2ième bac SM - Lycée Ibn Hazm . Fes . Maroc 23

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CHAPITRE 6. FONCTIONS LOG ET EXP

2. montrer que lim
x→−1+

f(x)−f(−1)
x+1

= +∞ et donner une interpertation géometrique du resultat obtenue

(a) on admet que :∀x ≥ −1
2

:
∣∣ln(1 + x)− x + 1

2
x2
∣∣ ≤ 2

3
|x3| resultat qui sera démontré en calcul

intergral

(b) déduire que lim
x→0

ln(x+1)−x
x2

= −1
2

(c) étudier la dérivabilité de f en 0 . et interpreter géometriquement le resultat

3.

(a) montrer que ∀x ∈ ]−1; 0[ ∪ ]0; +∞[ : f ′(x) = x+1
x2

e
ln(x+1)

x (x− ln(x + 1))
(b) justifier que ∀x > −1 : ln(x + 1) ≤ x en déduire le tableau de variation de f

4. Traçer la courbe Cf

Problème 12 Partie A : Etude d’une fonction auxilliaire
soit U la foction définie sur R+ par U (x) = 1− x− e−2x

1. etudier les variations de U

2. montrer que l’équation U (x) = 0 admet une unique solution α telle que
ln 2

2
< α < 1

3. donner le tableau de signe de U (x) justifier votre réponse

Partie B : Etude d’une fonction numérique

soit f la fonction définie par




f (x) = x.


e
2
x − 1 x > 0

f (x) =

(
x− 2−

1

x

)
.e−

1
x x < 0

1. jutifier que Df = R∗

2. .

(a) montrer que ∀x > 0 : f (x) = x.e
1
x


1− e

−2
x en déduire que lim

x→0
>

f (x) = +∞

(b) montrer de même que lim
x→0

<

f (x) = +∞

3. montrer que lim
x→+∞

f (x) = +∞ et calculer lim
x→−∞

f (x)

4. montrer que pour tout x > 0 :




f

(x) =

e
2
x U( 1x)√

e
2
x−1

x > 0

f

(x) =

(x + 1)
2

x2
.

(
x− 1

x

)
.e


1

x x < 0

5. donner le tableau de variation de f (à remarquer que ∀x > 0 :
(

x >
1

α
⇐⇒ 1

x
< α

)
6. .

(a) montrer que la droiteD d’équation y = x− 3 est une asymptote oblique de Cf au voisinage de −∞
(b) etudier la branche infinie de Cf au voisinage de +∞

7. montrer que f
(

1

α

)
=


1

α− α2

8. tracer la courbe Cf on prend
1

α
' 1. 25 et f

(
1

α

)
= 0, 4 f (−1) = −2e = −5, 4

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Partie C : Etude d’une suite numérique

soit (un)n∈N la suite numérique définie par
{

u0 = 4
un+1 = f (un)

1. montrer que ∀n ∈ N :
2

ln (2)
≤ un ≤ 4

2. montrer que∀x > 0 :
(

x ≥
2

ln (2)
⇐⇒ f (x) ≤ x

)
en déduire que la suite (un)n∈N décroissante

3. montrer que la suite est convergente et donner sa limite

Problème 13 pour chaque paramètre réel m on note fm la fonction définie surR par

fm (x) = 2m.e
x − e2x − 2m

on note par (Cm) la courbe representative de fm dans un repère orthonormé
(
O,
−→
i ,
−→
j
)

avec
∥∥∥−→i ∥∥∥ = 1cm

1. calculer les limites suivantes lim
x→+∞

fm (x) lim
x→+∞

fm(x)
x

lim
x→−∞

fm (x)

2. soient m et m′ deux réels tels que m < m′ etudier les positionsdes deux courbes (Cm) et (Cm′)

3. montrer que toutes les courbes (Cm) passent par un point fixe I que l’on déterminera

4. montrer que si m ≤ 0 alors fm est strictement décroissante sur R
5. on suppose que m >0

(a) montrer que fm admet un extremum que l’on determinera ses coordonnées

(b) soit Γ l’esemble des points extremums de fm quand m varie dans R∗+

montrer que Γest la courbe representative de la fonction g définie par g (x) = e2x − 2.ex

(c) vérifier que ∀x ∈ R : g(x) = −2− f1(x) en déduire que (Γ) est le symétrique de de (C1) par rapport
à la droite (D) : y = −1

6. trouver l’intersection de (C2) et la droite (D)

7. tracer dans le même repère les courbes (C1); (C2); (C3)et la courbe Γ

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