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TitleTransformee en Z
TagsMathematical Analysis Frequency Mathematical Objects Mathematical Concepts Fourier Transform
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Chapitre 2

La transformée en z

Les techniques de transformation jouent un rôle primordial dans l’étude des
systèmes linéaires invariants. C’est le cas des transformées de Fourier ou La-
place pour les systèmes en temps continu. Ces transformations connaissent une
particularisation aux systèmes en temps discret. La transformée en z est aux
systèmes en temps discret ce que la transformée de Laplace est aux systèmes
en temps continu. La propriété la plus remarquable est toujours la mise en cor-
respondance de la convolution dans le domaine direct avec un produit dans le
domaine transformé. La transformée en z présente en outre l’avantage d’être
plus facilement inversible que la transformée de Fourier.

Les raisons d’introduire la transformée en z sont donc les mêmes que celles qui
ont motivé l’utilisation de la transformée de Laplace : une facilité plus grande
d’utilisation et d’inversion que celles offertes par la transformée de Fourier.

2.1 La transformée de Fourier

Soit une fonction échantillonnée xe(t) qui peut être définie comme provenant
de l’échantillonnage d’une fonction en temps continue xa(t). On a

xe(t) =
∞∑

n=−∞

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26 CHAPITRE 2. LA TRANSFORMÉE EN Z

1. si a est réel et positif, on rapproche le pôle de l’origine si a < 1 et on
l’éloigne si a > 1.

2. si a est complexe du type ejθ, le pôle subit une rotation de θ radians au-
tour de l’origine.

On peut se demander quelle est la séquence qui correspond à cette transformée
dont la variable indépendante a été modifiée. On peut utiliser la transformée
inverse pour trouver la réponse. On sait que

x(n) =
1

2πj


Γ

X(z) zn−1 dz

=
1

2πj


Γ

X(w/a) (w/a)n−1 d(w/a)

x(n)an =
1

2πj


Γ

X(w/a) (w)n−1 dw (2.59)

et donc x(n)an est la séquence correspondant à X(z/a). On verra plus loin
combien la position des pôles et zéros est importante car elle conditionne la
stabilité des systèmes linéaires. Le fait que la modulation par une séquence
exponentielle permet de modifier les positions des pôles et zéros est donc de
première importance pour rendre, le cas échéant, un système stable.

Dérivation

Comme

X(z) =
∞∑

n=−∞
x(n) z−n (2.60)

on a aussi
dX(z)

dz
=

∞∑
n=−∞

(−n)x(n) z−n−1 (2.61)

Et donc

−z
dX(z)

dz
=

∞∑
n=−∞

n x(n) z−n (2.62)

De ce fait, il apparaît que −zdX(z)/dz est la transformée de n x(n).

Convolution

Cette propriété est une des plus importantes et justifie à elle seule l’usage qui
est fait de la transformée en z pour étudier les systèmes linéaires permanents
en temps discret. Si y(n) est obtenu par convolution de x(n) et g(n), on a que

y(n) =
∞∑

m=−∞
x(m) g(n − m) (2.63)

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2.2. LA TRANSFORMÉE EN Z 27

La transformée en z, Y (z), de y(n) est donc obtenue par

Y (z) =
∞∑

n=−∞
y(n) z−n

=
∞∑

n=−∞

∞∑
m=−∞

x(m) g(n − m) z−n

=

[ ∞∑
m=−∞

x(m) z−m
] [ ∞∑

n=−∞
g(n − m) z−(n−m)

]
= X(z) G(z) (2.64)

Cette opération est valable pour les valeurs de z appartenant à l’intersection
des domaines de convergence des deux transformées.

Considérons un système linéaire et permanent de réponse impul-
sionnelle

g(n) = an u(n) (2.65)

et |a| < 1 dont le signal x(n) à l’entrée est la séquence

x(n) = bn u(n) (2.66)

et |b| < 1 avec de plus |b| > |a|. La sortie y(n) est obtenue par
y(n) = x(n)⊗g(n) où ⊗ est le symbole utilisé pour une convolution.
Les transformées X(z) et G(z) sont données par

X(z) =
1

1 − bz−1
pour |z| > |b| (2.67)

G(z) =
1

1 − az−1
pour |z| > |a| (2.68)

En vertu de ce qui précède, on a donc pour |z| > |b| qui est donc
l’intersection des domaines de convergence,

Y (z) = G(z)X(z) (2.69)

=
1

1 − az−1
1

1 − bz−1
(2.70)

=
1

(1 − b/a)(1 − az−1)
+

1
(1 − a/b)(1 − bz−1)

(2.71)

=
a

(a − b)(1 − az−1)
+

b

(b − a)(1 − bz−1)
(2.72)

et donc, compte tenu des transformées calculées précédemment,

y(n) = u(n)
[

a

(a − b)
an +

b

(b − a)
bn

]
(2.73)

Ces calculs sont illustrés à la figure 2.4, pour a = 0.8, b = 0.9.

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2.4. FONCTION DE TRANSFERT 39

On a donc
G(z) =

1
1 − az−1

=
z

z − a
(2.112)

Cette fonction de transfert possède un zéro en z = 0 et un pôle en
z = a. Si on veut calculer la réponse impulsionnelle g(n) en inver-
sant G(z) il faut spécifier le domaine de convergence.

1. Si on cherche un système stable, le cercle de rayon unité doit
appartenir au domaine de convergence, et donc a �= 1.

2. Si on cherche un système causal, le domaine de convergence
est l’extérieur d’un cercle, et donc |z| > |a|. Dès lors, g(n) =
an u(n).

3. Si on cherche un système causal et stable, il faut à la fois |a| < 1
et |z| > |a|. On a alors une exponentielle décroissante.

4. Si on cherche un système anti-causal, la région de convergence
doit être l’intérieur d’un cercle, et donc |z| < |a|. On peut
trouver la réponse impulsionnelle par utilisation de la formule
d’inversion donnée en 2.27 :

g(n) =
1

2πj


Γ

zn

z − a
dz (2.113)

Pour n ≥ 0, on a un pôle en z = a qui n’est pas entouré par
un contour appartenant au domaine de convergence. On a un
zéro d’ordre n en z = 0. Et donc g(n ≥ 0) = 0. Pour n < 0,
on a un pôle multiple d’ordre (−n) en z = 0. On peut éviter
de devoir utiliser la formule complexe de calcul du résidu en
posant le changement de variable w = 1/z. Le domaine de
convergence devient |w| > |1/a| et le calcul est cette fois

g(n) =
1

2πj


Γ

w−n

w2(1/w − a)
dw

=
1

2πj


Γ

w−(n+1)

(1 − aw)
dw (2.114)

On a cette fois, pour n < 0 uniquement un pôle en w = 1/a.
Le calcul du résidu fait apparaître g(n < 0) = −an, et donc la
réponse est

g(n) = −an u(−n − 1) (2.115)
Ce système anti-causal sera stable si le cercle de rayon unité
appartient au domaine de convergence |z| < |a|. Il faut dès
lors que 1 < |a| pour avoir anti-causalité et stabilité.

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